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Aufgabe:

Zeige unter Anwendung des Satzes von Rice, dass die folgende Sprache nicht entscheidbar ist. Begründe die Nicht-Trivialität der Menge S.

L2= {〈M〉∣ M ist eine deterministische Turingmaschine und | L(M) | ≤ 2. }

Hierbei ist L(M) die von der deterministischen Turingmaschine M akzeptierte Sprache.


Ansatz/Problem:

Die Sprache L2 könnte man vielleicht mit einer Sprache gleichsetzen { 〈M〉 | M berechnet höchstens von einer deterministischen Turingmaschine M akzeptierte Sprachen.}. Dann könnte man eine Funktion S aufführen:
S = { f: Σ* -> | L (M) ≤ 2 }. Die Funktion f gibt eine Sprache L (M) raus. M wird das Wort w aber nicht mehr als maximal 2 Mal durchlaufen. Die Nicht-Trivialität der Menge könnte man dadurch zeigen, dass S einen Wert zurückgibt, der nicht 0 ist. Nur wie das noch formell zeigen?

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Begründe die Nicht-Trivialität der Menge S

Um die Aufgabe zu bewältigen und spezifisch die Nicht-Trivialität der Menge \(S\) im Zusammenhang mit dem Satz von Rice zu begründen, ist es zunächst wichtig, den Satz von Rice und das Konzept der Nicht-Trivialität im Kontext von entscheidbaren Sprachen zu verstehen.

Satz von Rice:

Der Satz von Rice besagt, dass jede nicht-triviale, semantische Eigenschaft einer Sprache, die durch eine Turingmaschine akzeptiert wird, unentscheidbar ist. Eine Eigenschaft wird als semantisch bezeichnet, wenn sie von der akzeptierten Sprache der Turingmaschine abhängt, nicht von der spezifischen Art und Weise, wie die Turingmaschine konstruiert ist. Eine Eigenschaft ist nicht-trivial, wenn sie nicht für alle entscheidbaren Sprachen wahr ist und es entscheidbare Sprachen gibt, für die sie nicht wahr ist.

Nicht-Trivialität der Menge \(S\):

In deinem Fall ist die Eigenschaft, die untersucht wird, ob die von einer deterministischen Turingmaschine \(M\) akzeptierte Sprache \(L(M)\) eine Größe von höchstens 2 hat, das heißt \(|L(M)| \leq 2\). Die Menge \(S\) kann also wie folgt definiert werden:
\( S = \{ L(M) | M \text{ ist eine deterministische Turingmaschine und } |L(M)| \leq 2 \} \)

Um die Nicht-Trivialität von \(S\) zu zeigen, müssen wir zwei Bedingungen betrachten:

1. Es existiert eine Turingmaschine \(M\), so dass \(|L(M)| \leq 2\): Diese Bedingung ist offensichtlich erfüllbar, indem man eine Turingmaschine konstruiert, die keine oder bis zu zwei spezifische Eingaben akzeptiert und alle anderen verwirft. Beispielsweise könnte eine Turingmaschine konstruiert werden, die nur die leere Zeichenkette und eine weitere spezifische Zeichenkette akzeptiert, oder sie akzeptiert gar keine Eingabe.

2. Es existiert eine Turingmaschine \(M\), so dass \(|L(M)| > 2\): Diese Bedingung ist ebenfalls erfüllbar, indem man eine Turingmaschine konstruiert, die drei oder mehr Eingaben akzeptiert. Beispielsweise könnte eine Turingmaschine die Sprache \(\{0, 1\}^*\) akzeptieren, die unendlich viele Eingaben enthält.

Die Existenz beider Arten von Turingmaschinen zeigt, dass die Eigenschaft, die durch \(S\) dargestellt wird, nicht trivial ist: Es gibt Turingmaschinen, deren akzeptierte Sprachen \(L(M)\) die Bedingung \(|L(M)| \leq 2\) erfüllen und solche, bei denen das nicht der Fall ist. Daher ist die Menge \(S\) nicht-trivial im Sinne des Satzes von Rice, was bedeutet, dass die Entscheidbarkeit, ob eine beliebige deterministische Turingmaschine \(M\) zu \(S\) gehört (also ob \(|L(M)| \leq 2\)), nicht allgemein entscheidbar ist.

Die gezeigte Nicht-Trivialität ist der Kern dafür, den Satz von Rice anzuwenden und zu schließen, dass die Sprache \(L2\), die definiert ist als die Menge der Kodierungen von deterministischen Turingmaschinen, deren akzeptierte Sprachen höchstens 2 Elemente enthalten, nicht entscheidbar ist.
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