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Frage:

Sei \( L_\# \) die folgende unentscheidbare Sprache:

\( L_\# = \{〈M〉| M \) schreibt für Eingabe irgendwann das Symbol # auf das Band} Wir wollen nun eine Reduktion vom speziellen Halteproblem \( H_ε \) auf \( L_\# \) beschreiben und damit zeigen, dass \( L_\# \) nicht entscheidbar ist.


Ansatz:

„Für eine Turingmaschine M, als Eingabe für \( L_\# \), konstruieren wir eine Turingmaschine M′ als Eingabe für \( H_ε \) wie folgt:

1.M′hat das gleiche Bandalphabet wie M.

2.M′hat die gleiche Zustandsmenge wie M mit einem zusätzlichen Zustand \( q_e \).

3.Die Überführungsfunktion von M ′ist die von M mit den Ausnahmen:

• Zustand \( q_e \) hat für alle Übergänge eine Endlosschleife auf sich selbst.

→M′wird niemals halten, sobald sie in \( q_e \) ist.

• Jede Regel, bei der gehalten wird bzw. die undefiniert ist, wird durch die Regel ‘gehe inZustand \( q_e \)’ ersetzt.

•Jede Regel, bei der ein # geschrieben wird, wird durch die Regel ‘halte’ ersetzt.Damit ist bewiesen, dass M gestartet auf dem leeren Band genau dann ein # schreibt, wenn M′ gestartet auf dem leeren Band hält. Nach dem Reduktionsprinzip folgt, dass die Sprache \( L_\# \) nicht entscheidbar ist.“

Da ist irgendwo ein Fehler drin, aber ich find' ihn nicht wie Nachbars Lumpi.

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Antwort mit KI erzeugt

Finde in der folgenden Reduktion das fehlerhafte Argument und begründe die Antwort.

Die beschriebene Reduktion versucht, eine Verbindung zwischen dem speziellen Halteproblem \(H_\epsilon\) und der unentscheidbaren Sprache \(L_\#\), die definiert ist als die Menge aller Turingmaschinen, die auf irgendeine Eingabe das Symbol \# schreiben, herzustellen. Das Ziel ist es, zu zeigen, dass, wenn man entscheiden könnte, ob eine Turingmaschine \(M\) zu \(L_\#\) gehört, man auch entscheiden könnte, ob eine modifizierte Turingmaschine \(M'\) auf leerer Eingabe hält, was ein Widerspruch wäre, da bekannt ist, dass das Halteproblem unentscheidbar ist.

Das fehlerhafte Argument befindet sich in der Verbindung zwischen dem Schreiben eines \# und dem Halten der Maschine \(M'\) auf leerer Eingabe. Explizit genannt wird dies in der Aussage:

„Damit ist bewiesen, dass M gestartet auf dem leeren Band genau dann ein \# schreibt, wenn \(M'\) gestartet auf dem leeren Band hält."

Die Fehlerhaftigkeit dieses Arguments liegt darin, dass es einen logischen Sprung in der Gleichsetzung der Bedingungen „ein \# schreiben“ und „anhalten“ gibt. Die Reduktion scheint auf den ersten Blick plausibel, weil sie die Aktionen der Turingmaschine \(M'\) so modifiziert, dass Verhalten, welches zum Schreiben eines \# in \(M\) führen würde, in \(M'\) zu einem Halten uminterpretiert wird und umgekehrt. Doch die Modifikation, die jede Regel, bei der ein \# geschrieben wird, durch die Regel "halte" ersetzt, bedeutet nicht notwendigerweise, dass \(M\) für jede Eingabe, für die sie ein \# schreibt, einer Turingmaschine \(M'\) entspricht, die auf leerer Eingabe hält. Die Bedingung, dass \(M\) auf irgendeiner Eingabe ein \# schreibt, umfasst eine wesentlich breitere Palette von Verhaltensweisen als das spezifische Halten von \(M'\) auf leerem Band.

Die korrekte Ausführung der Reduktion würde erfordern, dass man jede Situation, in der \(M\) ein \# schreibt, präzise auf ein Halten von \(M'\) abbilden kann. Das Argument lässt jedoch außer Acht, dass das Schreiben eines \# und das Halten auf leerer Eingabe zwei grundsätzlich verschiedene Ereignisse sind, die nicht unter allen Umständen äquivalent sind. Insbesondere bezieht sich das Schreiben eines \# auf das Verhalten von \(M\) auf beliebiger Eingabe, während das Halten von \(M'\) auf einer spezifischen, nämlich der leeren, Eingabe betrachtet wird.

Zusammengefasst liegt der Fehler in der Annahme, dass die Modifikationen an \(M'\) (wie das Ersetzen von \#-Schreibbefehlen durch Haltebefehle und das Einführen eines neuen Zustandes für endlose Schleifen) eine korrekte Reduktion von \(H_\epsilon\) auf \(L_\#\) bilden. Diese Annahme missinterpretiert die grundlegenden Unterschiede zwischen den Aktionen (Schreiben eines \#) und den Bedingungen (Halten auf leerer Eingabe), was die Reduktion ungültig macht.
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