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Aufgabe:

Sei \( A \) das deutsche Alphabet (siehe hier). In dieser Aufgabe betrachten wir sogenannte Tupelmengen \( M \) der folgenden Form: \( M \subseteq A \times \mathbb{N} \). Diese Mengen haben die Möglichkeit, die Anzahl der Vorkommen eines bestimmten \( x \in A \) als zweiten Wert des Tupels "zu speichern".

Hierbei ist wichtig, dass in Tupelmengen keine zwei Elemente \( (x, i),(y, j) \) mit \( x=y \) vorkommen dürfen und für alle Elemente \( (x, i) \) einer Tupelemenge stets \( i>0 \) gilt.

Beispiele:
- legale Tupelmengen: \{\}\( ,\{(a, 1),(b, 3)\} \)
- illegale Tupelmengen: \( \{(a, 0)\} \), sollte \{\} sein. \( \{(b, 1),(b, 3)\} \), sollte \( \{(b, 4)\} \) sein. Insofern sind die Mengenrelationen \( \cup, \cap \) und \( \backslash \) in ihrer ursprünglichen Definition für Tupelmengen nur begrenzt sinnvoll. Wir definieren neue Mengenrelationen durch Verwendung der Notation: \( \{x \mid x \) erfüllt die hier aufgeführten Bedingungen \( \} \). Hierbei verwenden wir die Notation \( (x,-) \in M \), bzw. \( (x,-) \notin M \), um auszudrücken, ob in einer Tupelmenge \( M \) das Zeichen \( x \in A \) mit beliebiger Anzahl vorkommt, bzw. nicht vorkommt.

Wir definieren zwei neue Mengenrelationen für beliebige Tupelmengen \( M, N \) :
- \( M \cap^{\prime} N:=\{(x, \min \{i, j\}) \mid(x, i) \in M,(x, j) \in N\} \)
- \( M-N:=\{(x, i-j) \mid(x, i) \in M,(x, j) \in N, i>j\} \cup\left\{(x, i) \mid(x, i) \in M,\left(x,,_{-}\right) \notin N\right\} \)

a) Geben Sie \( M \cap^{\prime} N \) für \( M=\{(a, 1),(b, 3),(c, 3),(d, 7)\} \) und \( N=\{(a, 4),(b, 2)\} \) an.

b) Geben Sie \( M-N \) für \( M=\{(a, 1),(b, 3),(c, 3),(d, 7)\} \) und \( N=\{(a, 4),(b, 2)\} \) an.

c) Definieren Sie die Relation \( \cdot \), sodass \( M \cdot N \) genau die in \( M \) und \( N \) vorkommenden \( x \in A \) mit multipliziertem Vorkommen enthält. Das Ergebnis soll stets eine legale Tupelmenge sein! Beispiel: \( \{(a, 1),(b, 2)\} \cdot\{(b, 3),(c, 4)\}=\{(b, 6)\} \)

d) Definieren Sie die Relation +, sodass \( M+N \) genau die Elemente der beiden Tupelmengen mit addiertem Vorkommen enthält. Das Ergebnis soll stets eine legale Tupelmenge sein! Beispiel: \( \{(a, 1),(b, 2)\}+\{(b, 3),(c, 4)\}=\{(a, 1),(b, 5),(c, 4)\} \)

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a) Geben Sie \( M \cap^{\prime} N \) für \( M=\{(a, 1),(b, 3),(c, 3),(d, 7)\} \) und \( N=\{(a, 4),(b, 2)\} \) an.

Für \( M \cap^{\prime} N \) ermitteln wir das Minimum der Anzahl des Vorkommens für jedes Element \( x \) in \( M \) und \( N \). \( M \cap^{\prime} N \) enthält nur solche \( x \), die sowohl in \( M \) als auch in \( N \) vorhanden sind.

\( M \cap^{\prime} N:\)

- Für \( (a, i) \) und \( (a, j) \) ist \( i = 1 \) und \( j = 4 \). Das Minimum von \( 1 \) und \( 4 \) ist \( 1 \), also \( (a, 1) \).
- Für \( (b, i) \) und \( (b, j) \) ist \( i = 3 \) und \( j = 2 \). Das Minimum von \( 3 \) und \( 2 \) ist \( 2 \), also \( (b, 2) \).
- \( c \) und \( d \) kommen nur in \( M \) vor und nicht in \( N \), daher werden sie nicht berücksichtigt.

Somit ist: \( M \cap^{\prime} N = \{(a, 1),(b, 2)\} \).

b) Geben Sie \( M-N \) für \( M=\{(a, 1),(b, 3),(c, 3),(d, 7)\} \) und \( N=\{(a, 4),(b, 2)\} \) an.

Für \( M-N \) entfernen wir die Vorkommen jedes Elements \( x \) in \( N \) von seinem Vorkommen in \( M \). Wenn \( (x, i-j) \) wobei \( i > j \), fügen wir \( (x, i-j) \) zu \( M-N \). Wenn \( (x, i) \in M \) und \( (x, -) \notin N \), fügen wir \( (x, i) \) direkt zu \( M-N \).

- \( (a, 1) - (a, 4) \) ist nicht in \( M-N \), da \( i \leq j \).
- \( (b, 3) - (b, 2) = (b, 1) \).
- \( (c, 3) \) und \( (d, 7) \) sind nur in \( M \) vorhanden, also: \( (c, 3) \), \( (d, 7) \).

Daher: \( M-N = \{(b, 1),(c, 3),(d, 7)\} \).

c) Definieren Sie die Relation \( \cdot \), sodass \( M \cdot N \) genau die in \( M \) und \( N \) vorkommenden \( x \in A \) mit multipliziertem Vorkommen enthält. Das Ergebnis soll stets eine legale Tupelmenge sein!

Für \( M \cdot N \) definieren wir die Relation als die Menge \( \{(x, i \cdot j) \mid (x, i) \in M, (x, j) \in N\} \), wobei das Resultat eine legale Tupelmenge sein muss, also keine doppelten \( x \) erlaubt und \( i>0 \).

d) Definieren Sie die Relation +, sodass \( M+N \) genau die Elemente der beiden Tupelmengen mit addiertem Vorkommen enthält. Das Ergebnis soll stets eine legale Tupelmenge sein!

Um \( M+N \) zu definieren, wo das Resultat die Summe der Vorkommen von \( x \) in \( M \) und \( N \) enthält, können wir folgenden Ansatz verwenden.

Für \( M+N \) definieren wir die Relation als:
- Für jedes \( (x, i) \in M \) und \( (x, j) \in N \), fügen wir \( (x, i+j) \) hinzu.
- Für jedes \( (x, i) \) nur in \( M \) oder nur in \( N \), fügen wir dies direkt zu \( M+N \) hinzu.

Formal kann dies dargestellt werden als:
\( M+N = \{(x, i+j) \mid (x, i) \in M, (x, j) \in N\} \cup \{(x, i) \mid (x, i) \in M \cup N, (x, -) \notin M \text{ oder } (x, -) \notin N\} \)

Diese Definition sorgt dafür, dass \( M+N \) eine legale Tupelmenge bleibt, da für jedes \( x \) in dem Resultat maximal ein Tupel existiert und alle \( i \) größer als \( 0 \) sind.
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