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Thema Hamming Distanz:

Gegeben ist der Code {1000 , 1111}

1. Können hier 1-Bit Fehler korrigiert werden?

2. Wenn ich eine Bitfolge 0111 Empfange und davon ausgehe, dass höchstens 2 Bits fehlerhaft empfangen worden sind. Welches Codewort wurde ursprünglich verschickt?

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1. Können hier 1-Bit Fehler korrigiert werden?

Um zu bestimmen, ob in einem gegebenen Code 1-Bit Fehler korrigiert werden können, verwenden wir die Hamming-Distanz. Die Hamming-Distanz ist die Anzahl der Bits, die sich zwischen zwei Codewörtern unterscheiden. Für eine korrekte 1-Bit Fehlerkorrektur muss die minimale Hamming-Distanz zwischen allen Paaren von Codewörtern mindestens 3 sein.

Gegeben sind die Codewörter \(1000\) und \(1111\). Wir berechnen die Hamming-Distanz zwischen diesen beiden Codewörtern.

\( \text{HD}(1000, 1111) \)
\( = (1 \oplus 1) + (0 \oplus 1) + (0 \oplus 1) + (0 \oplus 1) \)
\( = 0 + 1 + 1 + 1 \)
\( = 3 \)

Die Hamming-Distanz zwischen den beiden Codewörtern ist 3, was bedeutet, dass der Code 1-Bit Fehler korrigieren kann.

2. Wenn ich eine Bitfolge 0111 Empfange und davon ausgehe, dass höchstens 2 Bits fehlerhaft empfangen worden sind. Welches Codewort wurde ursprünglich verschickt?

Um zu bestimmen, welches Codewort ursprünglich verschickt wurde, wenn die Bitfolge \(0111\) empfangen wurde, berechnen wir die Hamming-Distanz zwischen \(0111\) und jedem Codewort im Code \(\{1000, 1111\}\):

- \(\text{HD}(0111, 1000)\)
\( = (0 \oplus 1) + (1 \oplus 0) + (1 \oplus 0) + (1 \oplus 0) \)
\( = 1 + 1 + 1 + 1 \)
\( = 4 \)

- \(\text{HD}(0111, 1111)\)
\( = (0 \oplus 1) + (1 \oplus 1) + (1 \oplus 1) + (1 \oplus 1) \)
\( = 1 + 0 + 0 + 0 \)
\( = 1 \)

Die Hamming-Distanz zwischen dem empfangenen Codewort \(0111\) und dem Codewort \(1111\) ist 1, während die Distanz zum Codewort \(1000\) 4 ist. Da wir davon ausgehen, dass höchstens 2 Bits fehlerhaft empfangen wurden und die Hamming-Distanz zu \(1111\) am kleinsten ist und innerhalb dieser Annahme liegt, ist das ursprünglich verschickte Codewort \(1111\).
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