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Für eine Menge \( M \) ist die charakteristische Funktion wie folgt definiert.
\( \chi_{M}(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1 & \text { falls } x \in M \\ 0 & \text { falls } x \notin M \end{array}\right. \)

Das heißt, die Indikatorfunktion ist \( \mathbf{1} \) für alle Elemente, die in der Menge enthalten sind, und \( \mathbf{0} \) sonst.
Wir greifen dieses Prinzip auf, um Mengen von Integerzahlen in Haskell durch Indikatorfunktionen zu repräsentieren.

type IntSet = Int → Bool

Zum Beispiel könnte man die Menge \( 4,8,15,16,23,42 \) in Haskell dann wie folgt definieren.

lostSet :: IntSet
lostSet = \x -> elem x [4, 8, 15, 16, 23, 42]
-- alternativ:
lostSet' :: IntSet

1. Implementieren Sie die folgenden Operationen auf Intsets:
• empty :: IntSet repräsentiert die leere Menge.
• insert :: Int -> IntSet -> IntSet fügt eine Zahl zu einer Menge hinzu.
• remove :: Int -> Intset -> IntSet entfernt eine Zahl aus einer Menge.
• isElem :: Int \( \rightarrow \) IntSet \( \rightarrow \) Bool prüft, ob eine Zahl in einer Menge enthalten ist.
• union :: IntSet -> IntSet -> IntSet vereinigt zwei Mengen.
• intersection :: IntSet \( \Rightarrow \) IntSet \( \Rightarrow \) IntSet bildet den Schnitt zweier Mengen.
• difference :: IntSet \( \Rightarrow \) IntSet \( \Rightarrow \) IntSet berechnet die Differenz zweier Mengen.
• complement : : IntSet \( \Rightarrow \) IntSet liefert das Komplement einer Menge.

2. Können Sie auch Funktionen listToSet :: [Int] -> IntSet und setToList :: IntSet -> [Int] zur Konvertierung zwischen Listen und der obigen Mengenrepräsentation definieren? Geben Sie eine Implementierung an oder erklären Sie, warum dies nicht möglich ist.

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Antwort mit KI erzeugt

Implementierung von Operationen auf IntSets

Diese Implementierungen sollen in Haskell erfolgen, da die Frage und der Kontext darauf hinweisen. Wir beginnen mit den Grundoperationen leere Menge (empty), Einfügen (insert), Entfernen (remove), Prüfung auf Elementzugehörigkeit (isElem), Vereinigung (union), Schnittmenge (intersection), Differenz (difference) und Komplement (complement), gefolgt von Konvertierungsfunktionen zwischen Listen und IntSet.

Empty

Eine leere Menge (empty) gibt immer False zurück, da sie keine Elemente enthält.

haskell
empty :: IntSet
empty = \_ -> False


Insert

Zum Einfügen eines Elements in eine Menge erweitern wir die charakteristische Funktion um eine Bedingung, die wahr ist, falls das hinzuzufügende Element geprüft wird.

haskell
insert :: Int -> IntSet -> IntSet
insert x set = \y -> (y == x) || set y


Remove

Um ein Element zu entfernen, stellen wir sicher, dass die charakteristische Funktion für dieses Element falsch ist, während sie für andere Elemente unverändert bleibt.

haskell
remove :: Int -> IntSet -> IntSet
remove x set = \y -> (y /= x) && set y


IsElem

Diese Funktion prüft, ob ein Element in der Menge enthalten ist, indem die charakteristische Funktion auf dieses Element angewendet wird.

haskell
isElem :: Int -> IntSet -> Bool
isElem = \x set -> set x


Union

Die Vereinigung zweier Mengen ist die Menge aller Elemente, die in mindestens einer der beiden Mengen enthalten sind.

haskell
union :: IntSet -> IntSet -> IntSet
union set1 set2 = \x -> set1 x || set2 x


Intersection

Die Schnittmenge (intersection) zweier Mengen besteht aus allen Elementen, die beiden Mengen angehören.

haskell
intersection :: IntSet -> IntSet -> IntSet
intersection set1 set2 = \x -> set1 x && set2 x


Difference

Die Differenz zweier Mengen ist die Menge aller Elemente, die in der ersten, aber nicht in der zweiten Menge enthalten sind.

haskell
difference :: IntSet -> IntSet -> IntSet
difference set1 set2 = \x -> set1 x && not (set2 x)


Complement

Das Komplement einer Menge umfasst alle Elemente, die nicht in der gegebenen Menge enthalten sind. In dieser Formulierung ist es allerdings schwierig, das Komplement wirklich vollständig zu implementieren, da IntSet unendlich viele Ganzzahlen umfasst und wir nicht einfach "alle anderen Zahlen" auswählen können. Eine allgemeine Implementation in Haskell ohne konkreten Kontext ist daher limitiert:

haskell
complement :: IntSet -> IntSet
complement set = \x -> not (set x)


Konvertierungsfunktionen

Die Konvertierung von einer Liste zu einem IntSet ist direkt machbar, weil man über die Liste iterieren und jede Zahl mit insert hinzufügen kann. Die Umkehrung von einem IntSet zu einer Liste ist hingegen nicht direkt in Haskell implementierbar, da eine Funktion, die ein IntSet darstellt, keine Informationen über die Elemente, die es enthält, offenbart, ohne dass man jede mögliche Zahl überprüfen müsste. Hier zeigen wir nur die Konvertierung von Liste zu IntSet:

haskell
listToSet :: [Int] -> IntSet
listToSet xs = \x -> elem x xs


Da Haskell's Typsystem und reine Funktionsweise keine direkte Überprüfung oder Generierung einer vollständigen Liste aller in einem solchen funktionsbasierten IntSet enthaltener Elemente erlaubt (ohne externe Informationen wie einen Bereich oder eine maximale Größe), ist setToList nicht direkt umsetzbar. Eine mögliche, aber unpraktische Methode wäre das Durchlaufen aller Int-Werte und die Überprüfung jedes einzelnen, was jedoch unendlich lange dauern würde.
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