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Aufgabe:

Zu einem beliebigen Stapelspeicher m, sei die „effektive Menge“ von m definiert als:

Mm = {(a, m(a)) | m(a) ≠ ⊥}

(m(a) = ⊥ bedeutet, dass in der Adresse a kein Element ist)

a) Geben Sie Mbsp für den Beispiel-Stapelspeicher mbsp aus dem Aufgabentext der vorigen Aufgabe an.

Der Stapel mbsp :

Adresse aSpeicherinhalt m(a) 
0 3
1 31 
2 42
3 ⊥

b) Geben Sie Mleer für einen leeren Stapelspeicher mleer an.
c) Geben Sie eine formale Mengendefinition in Abhängigkeit von m für M , mit
m´ = push(m,e), mit beliebigem e ∈ Z an. Übersichtshinweise beachten!
d) Geben sie eine formale Mengendefinition in Abhängigkeit von m für M mit
m´ = pop(m) an. Übersichtshinweise beachten!
Verwenden Sie in dieser gesamten Aufgabe zur besseren Übersicht:
• m(a) statt memread(m, a) (memread bedeutet (m,a) ↦ m(a))
• last(m) := m(m(0) − 1)

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Antwort mit KI erzeugt

a) M<sub>bsp</sub> für den Beispiel-Stapelspeicher m<sub>bsp</sub>

Aus dem gegebenen Stapelspeicher m<sub>bsp</sub> leiten wir folgende Werte ab:

- Bei der Adresse 0 ist der Speicherinhalt 3
- Bei der Adresse 1 ist der Speicherinhalt 31
- Bei der Adresse 2 ist der Speicherinhalt 42
- Bei der Adresse 3 enthält der Speicher das Symbol \(⊥\) (was bedeutet, dass an dieser Adresse kein gültiger Wert gespeichert ist)

Daher sieht die effektive Menge M<sub>bsp</sub> für den Beispiel-Stapelspeicher m<sub>bsp</sub> wie folgt aus:

\(M_{\text{bsp}} = \{(0, 3), (1, 31), (2, 42)\}\)

b) M<sub>leer</sub> für einen leeren Stapelspeicher m<sub>leer</sub>

Ein leerer Stapelspeicher m<sub>leer</sub> bedeutet, dass an keinen Adressen im Stapelspeicher Elemente vorhanden sind. In dieser Darstellung gibt es keine Adressen a mit \(m(a) \neq \bot\). Daher ist die "effektive Menge" M<sub>leer</sub> eines leeren Stapelspeichers eine leere Menge:

\(M_{\text{leer}} = \{\}\)

c) Formale Mengendefinition in Abhängigkeit von m für M<sub>m´</sub>, mit m´ = push(m,e)

Wenn wir ein Element \(e\) auf den Stapel mit der Operation \(push\) hinzufügen, fügen wir effektiv ein weiteres Paar \((a, e)\) zur Menge hinzu. Die Adresse \(a\) ist die nächste freie Adresse, an der \(e\) gespeichert wird, und \(e\) ist das Element, das hinzugefügt wird. In diesem Kontext ist \(last(m)\) das letzte Element im Stack \(m\), und \(m(0) - 1\) gibt den Index des letzten tatsächlich gespeicherten Wertes vor dem Hinzufügen des neuen Elements \(e\). Die neue Adresse \(a\) ist dann \(m(0)\), da es die nächste freie Position repräsentiert. Die formale Definition von \(M_{m'}\) nach dem Hinzufügen von \(e\) ist:

\(M_{m'} = M_m \cup \{(m(0), e)\}\)

Dabei repräsentiert \(M_m\) die ursprüngliche Menge von Paaren, und durch das Hinzufügen von \(\{(m(0), e)\}\) erweitern wir die Menge um das neue Element an der nächsten freien Adresse.

d) Formale Mengendefinition in Abhängigkeit von m für M<sub>m´</sub> mit m´ = pop(m)

Die Operation \(pop\) entfernt das oberste Element vom Stapel. Um die formale Definition der Menge \(M_{m'}\) zu formulieren, nachdem das oberste Element entfernt wurde, müssen wir das Element an der obersten Adresse, also das letzte hinzugefügte Element, aus \(M_m\) entfernen. Da \(last(m)\) das Element am oberen Ende des Stapels ist und die Adresse dieses Elements \(m(0) - 1\) ist, müssen wir dieses spezifische Paar aus der Menge entfernen. Wenn wir \(pop(m)\) ausführen, wird das Element an der Adresse \(m(0) - 1\) entfernt:

\(M_{m'} = M_m - \{(m(0) - 1, last(m))\}\)

Dies reduziert effektiv die Menge \(M_{m'}\), indem es das letzte Paar, das zum obersten Element des Stapels korrespondiert, entfernt.
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