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Frage (Zufallswahl - Datenstrukturen):

Betrachte eine Hashtabelle der Größe m mit n Eintrögen, in der Kollisionen durch Verkettung aufgelöst werden. Wir nehmen an, wir kennen bereits die Längen n_j aller Listen unter den Hash-Werten j = 0,...., m − 1, insbesondere die Maximallänge L.

Beschreibe eine Prozedur, die in erwarteter Zeit O(L(1+ 1/α)) zufällig gleichverteilt einen der vorhandenen Schlüssel auswählt und ausgibt.

(Alpha ist n/m)

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Antwort mit KI erzeugt

Prozedur zur zufällig gleichverteilten Auswahl eines der Schlüssel

Um einen der Schlüssel zufällig gleichverteilt auszuwählen, können die folgenden Schritte als Prozedur aufgefasst werden:

1. Initialisierung: Berechne zunächst den Lastfaktor \( \alpha = \frac{n}{m} \), wobei \( n \) die Anzahl der Einträge und \( m \) die Größe der Hashtabelle ist.

2. Zufällige Wahl eines Hash-Wertes: Wähle zufällig einen Hash-Wert \( j \) zwischen 0 und \( m - 1 \).

3. Prüfen der Liste unter diesem Hash-Wert: Untersuche die Liste unter dem zufällig gewählten Hash-Wert \( j \). Wenn die Liste leer ist (d.h., keine Einträge unter diesem Hash-Wert), gehe zurück zu Schritt 2 und wähle einen neuen Hash-Wert.

4. Zufällige Auswahl eines Schlüssels aus der Liste: Wenn die Liste unter dem ausgewählten Hash-Wert \( j \) Einträge enthält, wähle zufällig einen der Einträge (Schlüssel) aus dieser Liste.

5. Ausgabe des ausgewählten Schlüssels: Gib den ausgewählten Schlüssel zurück.

Da die Längen \( n_j \) aller Listen sowie die Maximallänge \( L \) bekannt sind, kann diese Information genutzt werden, um die Effizienz der Auswahl zu optimieren. Insbesondere kann die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Hash-Wert \( j \) ausgewählt wird, angepasst werden, um die Chancen zu erhöhen, sofort eine nicht-leere Liste zu treffen.

Erwartete Laufzeit

Die erwartete Zeit, um einen Schlüssel zufällig gleichverteilt auszuwählen, hängt von der Verteilung der Einträge in den Listen und somit von der Maximallänge \( L \) sowie von \( \alpha \) ab.

- Die durchschnittliche Liste hat eine Länge von \( \alpha \) (durchschnittliche Anzahl von Schlüsseln pro Liste).
- Die Maximallänge \( L \) gibt ein Maß für die schlechteste Einzelfall-Leistung (Worst Case) bei der Auswahl eines Schlüssels aus der Liste.

Die Wahrscheinlichkeit, eine leere Liste zu wählen, sinkt mit steigendem \( \alpha \) (wenn die Einträge gleichmäßiger verteilt sind), was die durchschnittliche Auswahlzeit verbessert. Für eine effiziente Auswahl ist es entscheidend, die Wahrscheinlichkeit, eine nicht-leere Liste zu wählen, zu maximieren und damit die Anzahl der Wiederholungen im Schritt 3 zu minimieren.

Die erwartete Zeit für die Auswahl eines Schlüssels liegt bei \( O(L(1 + \frac{1}{\alpha})) \), wobei der erste Teil \( O(L) \) die Zeit repräsentiert, die benötigt wird, um aus einer Liste mit Maximallänge \( L \) zufällig einen Eintrag auszuwählen, und der zweite Teil \( O(\frac{1}{\alpha}) \) die durchschnittliche Anzahl der Versuche repräsentiert, die erforderlich sind, um eine nicht-leere Liste zu wählen.

Zusammenfassung

Die beschriebene Prozedur ermöglicht es, effizient und zufällig gleichverteilt einen Schlüssel aus einer Hashtabelle mit Verkettung zum Auflösen von Kollisionen zu wählen. Die Effizienz der Prozedur hängt von der Gleichverteilung der Einträge über die Listen und damit von der Wahl einer geeigneten Hash-Funktion ab.
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