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Aufgabe Positive Teiler:

Gegeben sei eine natürliche Zahl \( n \in \mathbb{N}, n \geq 1 \). Mit \( \sigma(n) \) bezeichnen wir die Summe aller positiven Teiler von \( n \). Beispielsweise ist \( \sigma(12)=1+2+3+4+6 \mid+12=28 \). Schreiben Sie ein JavaProgramm, welches die Zahl \( k \), mit \( k \geq 100 \) und \( k \leq 999 \) findet, für die \( \sigma(k) \) maximal ist.

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Antwort mit KI erzeugt

Lösungsansatz:

Um das Problem zu lösen, müssen wir die folgenden Schritte ausführen:

1. Funktion Erstellung: Eine Funktion erstellen, um \( \sigma(n) \) zu berechnen. Dabei summieren wir alle positiven Teiler von \( n \).
2. Iteration: Durch alle \( k \) zwischen 100 und 999 iterieren, \( \sigma(k) \) berechnen und das Maximum von \( \sigma(k) \) finden.
3. Maximale \( \sigma(k) \) Identification: Speichern und aktualisieren Sie den Wert von \( k \) und den maximalen Wert von \( \sigma(k) \), während Sie durch die Zahlen iterieren.
4. Output: Das \( k \) ausgeben, für das \( \sigma(k) \) maximal ist.

Java-Programm:

Unten finden Sie den Java-Quellcode, der das Problem löst:

java
public class PositiverTeiler {
    public static void main(String[] args) {
        int maxSigma = 0; // Zum Speichern des maximalen Werts von σ(k)
        int kMitMaxSigma = 100; // Zum Speichern von k, für das σ(k) maximal ist

        // Durch jedes k zwischen 100 und 999 iterieren
        for (int k = 100; k <= 999; k++) {
            int sigma = berechneSigma(k); // Berechnung von σ(k)
            
            // Prüfen, ob das aktuelle σ(k) größer als das bisherige Maximum ist
            if (sigma > maxSigma) {
                maxSigma = sigma; // Aktualisierung des maximalen σ(k)
                kMitMaxSigma = k; // Aktualisierung des k für das maximale σ(k)
            }
        }

        // Ausgabe des Ergebnisses
        System.out.println("Die Zahl k zwischen 100 und 999 mit dem maximalen σ(k) ist " + kMitMaxSigma + " mit einem σ(k) von " + maxSigma);
    }

    // Funktion zur Berechnung von σ(n), der Summe aller positiven Teiler von n
    private static int berechneSigma(int n) {
        int summe = 0; // Initialisierung der Summe der positiven Teiler
        
        // Durch jedes i zwischen 1 und n (inklusive) iterieren
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            // Prüfen, ob i ein Teiler von n ist
            if (n % i == 0) {
                summe += i; // Teiler zur Summe hinzufügen
            }
        }
        
        return summe; // Rückgabe der Summe der positiven Teiler
    }
}


Dieses Programm definiert eine Methode berechneSigma, die die Summe aller positiven Teiler einer gegebenen Zahl berechnet. Anschließend durchsucht es den Bereich von 100 bis 999 nach der Zahl, bei der die Summe ihrer positiven Teiler maximal ist. Zum Schluss gibt das Programm die Zahl und die entsprechende Summe ihrer positiven Teiler aus.
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