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Beweisen Sie die Korrektheit von A1 mittels einem geeigneten Hoare-Tripel.
Um die Korrektheit von Algorithmus A1 zu beweisen, verwenden wir Hoare-Logik, die eine formale Methode zur Spezifikation, Entwicklung und Verifikation von Computerprogrammen ist. Die Kernidee besteht darin, aussagekräftige Aussagen über den Zustand des Programms an bestimmten Punkten in Form von Hoare-Tripeln \((P) \{S\} (Q)\) zu machen, wobei \(P\) die Vorbedingung, \(S\) die Programmanweisung und \(Q\) die Nachbedingung ist. Diese geben an, was vor bzw. nach der Ausführung des Programms \(S\) über den Zustand des Systems bekannt ist.
Der Algorithmus A1 analysiert, wie viele Teiler \(2, 3, \ldots, \lfloor n/2 \rfloor\) die Zahl \(n\) hat. Hierbei wird:
- \(K\) zuerst \(n\) zugewiesen.
- \(t\) wird auf \(2\) gesetzt, der kleinste Teiler, den eine Zahl haben kann (außer \(1\), das triviale Teiler ausschließt).
- \(c\) wird zur Zählung der Teiler verwendet und mit \(0\) initialisiert.
- Dann wird in einer Schleife für jeden Wert von \(t\) bis zum halben Wert von \(n\) überprüft, ob \(n\) ein Vielfaches von \(t\) ist (indiziert durch \(k \mod t = 0\)).
- Wenn ja, wird \(c\) um eins erhöht (was bedeutet, dass ein weiterer Teiler gefunden wurde).
- \(t\) wird nach jedem Durchgang der Schleife inkrementiert, bis es größer als \(n/2\) ist.
Um die Korrektheit des Algorithmus zu beweisen, definieren wir folgende Hoare-Tripel:
Vorbedingung \(P\): \(n > 1\)
Programmanweisungen \(S\): Der gesamte gegebene Codeblock.
Nachbedingung \(Q\): \(c\) ist die Anzahl der Teiler von \(n\) im Bereich von \(2\) bis \(\lfloor n/2 \rfloor\).
Beweis:
1.
Initialisierung: Zu Beginn werden \(K\), \(t\), und \(c\) entsprechend initialisiert. Diese Schritte erfüllen trivialerweise die Vorbedingung, da sie unabhängig von der Gültigkeit von \(n > 1\) sind.
2.
Erhaltung: Die Schleifeninvariante hier könnte sein, dass zu Beginn jedes Durchlaufs der Schleife \(c\) die Anzahl der Teiler von \(n\) im Bereich \(2, \ldots, t-1\) ist. Nach jedem Durchlauf, wenn \(k \mod t = 0\), wird \(c\) um 1 erhöht, was die Anzahl der wirklich gefundenen Teiler bis zum aktuellen \(t\) korrekt widerspiegelt. Die Aktualisierung von \(t\) um 1 für den nächsten Durchlauf erhält diese Invariante.
3.
Terminierung: Die Schleife terminiert, wenn \(t > n/2\), was bedeutet, dass alle möglichen Teiler im Bereich \(2\) bis \(\lfloor n/2 \rfloor\) überprüft wurden. An diesem Punkt reflektiert \(c\) die Anzahl dieser Teiler, da nach der Erhaltungseigenschaft, jeder gefundene Teiler korrekt gezählt wurde. Dies beweist die Nachbedingung \(Q\).
Daher können wir schlussfolgern, dass, basierend auf dem Hoare-Tripel und der Begründung oben, der Algorithmus A1 korrekt ist in Bezug auf seine Spezifikation: Für eine gegebene Zahl \(n > 1\), zählt \(c\) korrekt die Anzahl der Teiler von \(n\) im Bereich von \(2\) bis \(\lfloor n/2 \rfloor\).
