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Aufgabe:

Implementieren Sie die Methode

double integral(double a, double b);

die das Integral \( \int \limits_{a}^{b} p(x) d x \) ausrechnet. Es soll also je nach Typ type
\( a_{0}(b-a)-\sum \limits_{k=1}^{d i m} a_{k}(\cos (k b)-\cos (k a)) / k \)
oder
\( a_{0}(b-a)+\sum \limits_{k=1}^{\operatorname{dim}} a_{k}(\sin (k b)-\sin (k a)) / k \)
berechnet werden. Sie können alle Funktionen aus <cmath> verwenden.

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Antwort mit KI erzeugt

Um die Methode integral zu implementieren, müssen wir zunächst sicherstellen, dass wir die Berechnung für die beiden verschiedenen Typen (vermutlich Kosinus- und Sinus-Integrale) korrekt durchführen. Wir nehmen an, dass es eine Art von Zustandsvariable oder Eingabe gibt, die bestimmt, welcher Typ von Integral berechnet werden soll.

Hier ist die vollständige Implementierung in C++ unter Verwendung der Funktionen aus <cmath>:

cpp
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <vector>

class Polynomial {
private:
    std::vector<double> coefficients;  // Koeffizienten a0, a1, a2, ..., adim
    int type;  // Variable to store type (e.g., 1 for cosine-based, 2 for sine-based)
    
public:
    Polynomial(const std::vector<double>& coeffs, int t) : coefficients(coeffs), type(t) {}
    
    double integral(double a, double b) {
        double result = coefficients[0] * (b - a);  // a0 * (b - a)
        int dim = coefficients.size() - 1;  // da die Dimension von a0, a1, ..., a_dim
        
        if (type == 1) {
            // Cosine-based integral
            for (int k = 1; k <= dim; ++k) {
                result -= coefficients[k] * (cos(k * b) - cos(k * a)) / k;
            }
        } else if (type == 2) {
            // Sine-based integral
            for (int k = 1; k <= dim; ++k) {
                result += coefficients[k] * (sin(k * b) - sin(k * a)) / k;
            }
        } else {
            throw std::invalid_argument("Invalid type");
        }
        
        return result;
    }
};

int main() {
    // Beispielhafte Koeffizienten für das Polynom p(x)
    std::vector<double> coeffs = {1.0, 0.5, 0.25};  // Beispielhafte Werte
    
    // Beispiel mit Kosinus-basiertem Typ (type = 1)
    Polynomial poly(coeffs, 1);
    double a = 0.0;
    double b = M_PI;
    std::cout << "Integral (cosine-based) from " << a << " to " << b << " is: " << poly.integral(a, b) << std::endl;
    
    // Beispiel mit Sinus-basiertem Typ (type = 2)
    Polynomial poly2(coeffs, 2);
    std::cout << "Integral (sine-based) from " << a << " to " << b << " is: " << poly2.integral(a, b) << std::endl;
    
    return 0;
}


Erläuterungen

1. Koeffizienten und Typ des Polynoms: Die Klasse Polynomial verwendet einen Vektor coefficients, um die Koeffizienten \(a_0, a_1, a_2,..., a_{\text{dim}}\) des Polynoms zu speichern. Der type bestimmt, ob wir das Kosinus-basierte oder Sinus-basierte Integral berechnen.

2. Integral-Berechnung: Die Methode integral nimmt die Grenzen \(a\) und \(b\) als Parameter und berechnet das entsprechende Integral. Abhängig vom type entscheidet die Schleife, ob Kosinus oder Sinus verwendet wird.

3. Resultat-Formel:
- Für den Kosinus-basierten Typ: \( a_0 (b - a) - \sum_{k=1}^{\text{dim}} \frac{a_k (\cos(kb) - \cos(ka))}{k} \)
- Für den Sinus-basierten Typ: \( a_0 (b - a) + \sum_{k=1}^{\text{dim}} \frac{a_k (\sin(kb) - \sin(ka))}{k} \)

4. Ausgabe: Das main-Programm enthält zwei Beispiele, eines für den Kosinus-basierten Typ und eines für den Sinus-basierten Typ, um die Funktionalität der Implementierung zu testen.

Dies stellt sicher, dass die Implementierung vollständig und korrekt ist sowie die gewünschte Funktionalität liefert.
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