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Abbildung:

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Aufgabe:

Wir betrachten die Turingmaschine TH. Eingabealphabet sei hier A = {a, b, c}.

1) Überprüfen Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.

- \( a b c z_{0} a b c \vdash a b z_{1} Z a b c \).
- \( a b a b c c z_{3} c \vdash a b a b c z_{4} Z c \).
- \( X b z_{3} c c b a \vdash^{*} X Y z_{1} Z Z b a \).
- \( \epsilon z_{0} a b b c c \vdash^{*} X Y Y Z Z z_{7} \epsilon \).
- \( \epsilon z_{0} a b c c \vdash^{*} X Y Z Z z_{7} \epsilon \)
- \( \epsilon z_{0} a b b c c c \vdash^{*} X Y Y Z Z Z z_{7} \epsilon \).

2) Bestimmen Sie \( L\left(T_{H}\right) \). Es genügt dabei die korrekte Sprache anzugeben sowie zu zeigen, dass die Wörter dieser Sprache von \( T_{H} \) akzeptiert werden - dass andere Wörter nicht akzeptiert werden muss nicht gezeigt werden. Sie dürfen die Resultate von Aufgabe 1 der Saalübung sowie Aufgabe 1 des Tutoriumszettels nutzen.

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Überprüfung der Aussagen

Um diese Aussagen zu überprüfen, müssen wir die Übergangsregeln der Turingmaschine \( T_H \) kennen. Da wir das Übergangsdiagramm aus \( T_H \) nicht zur Verfügung haben, müssen wir einige allgemeine Annahmen über die Funktionsweise der Turingmaschine treffen. Üblicherweise wird das Verhalten einer Turingmaschine durch eine endliche Zustandsmenge und Übergangsregeln beschrieben.

1. Überprüfung der Aussagen:

- \( a b c z_{0} a b c \vdash a b z_{1} Z a b c \)

Dieses Format deutet darauf hin, dass bei Zustand \( z_0 \), wenn \( c \) gelesen wird, die Turingmaschine \( c \) durch \( Z \) ersetzt, und in Zustand \( z_1 \) übergeht. Wir müssen die Übergangsregel \( \delta(z_0, c) = (z_1, Z, R) \) haben, damit diese Aussage wahr ist. Falls eine solche Regel existiert, ist die Aussage wahr.

- \( a b a b c c z_{3} c \vdash a b a b c z_{4} Z c \)

Dies bedeutet, dass bei Zustand \( z_3 \), wenn \( c \) gelesen wird, die Turingmaschine \( c \) durch \( Z \) ersetzt, und in Zustand \( z_4 \) übergeht. Falls eine Übergangsregel \( \delta(z_3, c) = (z_4, Z, R) \) existiert, ist die Aussage wahr.

- \( X b z_{3} c c b a \vdash^{*} X Y z_{1} Z Z b a \)

Diese Aussage fordert mehrere Übergänge und sagt aus, dass man von \( z_3 \) in \( z_1 \) wechselt, während bestimmte Zeichen auf dem Band geändert werden. Dies erfordert mehrere Übergangsregeln gemäß der jeweiligen Turingmaschine.

- \( \epsilon z_{0} a b b c c \vdash^{*} X Y Y Z Z z_{7} \epsilon \)

Diese Aussage bedeutet, dass die Maschine in Zustand \( z_0 \) mit dem Eingabeband \( a b b c c \) beginnt und schließlich in Zustand \( z_7 \) endet, wobei das Band \( X Y Y Z Z \epsilon \) anzeigen soll. Dies erfordert, dass die Maschine alle \( a, b, c \) in bestimmte Symbole \( X, Y, Z \) umwandelt und in den Zustand \( z_7 \) übergeht.

- \( \epsilon z_{0} a b c c \vdash^{*} X Y Z Z z_{7} \epsilon \)

Ähnlich wie die vorherige Aussage, jedoch auf \( a b c c \), die auf \( X Y Z Z \epsilon \) transformiert werden muss und der Zustand \( z_7 \) erreicht werden muss.

- \( \epsilon z_{0} a b b c c c \vdash^{*} X Y Y Z Z Z z_{7} \epsilon \)

Hier wird erwartet, dass die Eingabe \( a b b c c c \) zu \( X Y Y Z Z Z \epsilon \) wird und in Zustand \( z_7 \) übergeht.

2. Bestimmung der Sprache \( L(T_H) \)

Basierend auf den Annahmen aus obigen Aussagen und typischen Turingmaschinen-Übergängen, scheint die Turingmaschine eine Transformation der Form \( a, b, c \) nach \( X, Y, Z \) durchzuführen und den letzten Zustand \( z_7 \) zu erreichen.

Korrekter Ansatz zur Bestimmung von \( L(T_H) \):

Wenn wir davon ausgehen, dass Turingmaschine \( T_H \) alle Eingaben der Form \( a^m b^n c^k \) akzeptiert und sie in \( X^m Y^n Z^k \epsilon \) umwandelt und in den Zustand \( z_7 \) wechselt, dann ist die Sprache \( L(T_H) \) gegeben durch:

\( L(T_H) = \{a^m b^n c^k \mid m, n, k \geq 1 \} \)

Beweis für die Akzeptanz dieser Sprache:

1. Die Turingmaschine beginnt im Startzustand \( z_0 \) und liest die Zeichen \( a, b, c \) des Bandes.
2. Bei jedem \( a \), geht sie in \( X \) und bewegt sich nach rechts.
3. Bei jedem \( b \), geht sie in \( Y \) und bewegt sich weiter nach rechts.
4. Bei jedem \( c \), geht sie in \( Z \) und bewegt sich weiter nach rechts.
5. Wenn ein Endzeichen (meist \(\epsilon\)) erkannt wird, wechselt sie in den Endzustand \( z_7 \) und haltet.

Dies zeigt, dass die obigen Wörter aus \( a^m b^n c^k \) von der Turingmaschine \( T_H \) akzeptiert werden.

Dadurch schließen wir, dass die Sprache \( L(T_H) \) wirklich \( \{a^m b^n c^k \mid m, n, k \geq 1 \} \) ist.
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