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Aufgabe:

Die vorgegebene Liste enthält Temperaturwerte \( T \) in \( { }^{\circ} \mathrm{C} \) die während einem Auskühlungsvorgang gemessen wurden. Die Umgebungstemperatur betrug \( T_{u}=22^{\circ} \mathrm{C} \). Es ist zu erwarten, dass die Temperaturdifferenz \( \Delta T=T-T_{u} \) einem exponentiellen Gesetz der Form
\( \Delta T(t)=\Delta T_{0} \exp (-k \cdot t), \Delta T_{0}=T(t=0)-T_{u} \) folgt. Schreiben Sie ein Programm das auf Basis der Werte der Liste den Faktor \( k \) bestimmt. Die Messwerte in der Liste wurden in einem Abstand von 15 Minuten bestimmt.

Aus dem obigen folgt
\( \log \left(\frac{\Delta T}{\Delta T_{0}}\right)=-k \cdot t \)

womit
\( k=-\frac{1}{t} \cdot \log \left(\frac{\Delta T}{\Delta T_{0}}\right) \)

In [21]: from math import \( \log \) ]
\( T=[44.2,38.4,34,31.5,29.4,27.8,26.6,25.6,24.9,24.4] \)


Ansatz/Problem:

Ich wollte zunächst mal mit einer While Schleife Delta T bestimmen (was das mit dem entsprechenden T berechnet wird.) Bin mir etwas unsicher, wie Delta T0 zu bestimmen ist. Das ist ja bloß T mit t = 0.

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Antwort mit KI erzeugt

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Um den Faktor \( k \) aus den gegebenen Temperaturwerten zu bestimmen, folgen wir der gegebenen Gleichung und den Anweisungen. Die Schritte sind:

1. Liste der Temperaturwerte definieren:
2. Umgebungstemperatur \( T_u \) definieren:
3. Berechnen der anfänglichen Temperaturdifferenz \( \Delta T_0 \):
4. Berechnen der Temperaturdifferenzen \( \Delta T \) für jede Messung:
5. Ersetzen \( t \) durch entsprechende Zeitintervalle (da die Messung alle 15 Minuten erfolgte):
6. Berechnen des Faktors \( k \) für jedes Zeitintervall:
7. Berechnen des Durchschnitts von \( k \):

Hier ist das gesamte Python-Programm, das diese Schritte ausführt:

python
from math import log

# Gegebene Liste der Temperaturwerte in °C
T = [44.2, 38.4, 34, 31.5, 29.4, 27.8, 26.6, 25.6, 24.9, 24.4]

# Umgebungstemperatur
T_u = 22.0

# Zeitintervall zwischen den Messungen in Minuten
time_interval = 15  # 15 Minuten

# Initiale Temperaturdifferenz Delta T_0
Delta_T_0 = T[0] - T_u

# Liste der Temperaturdifferenzen Delta T
Delta_T = [temp - T_u for temp in T]

# Liste der Zeiten (in Minuten)
times = [i * time_interval for i in range(len(T))]

# Berechnen von k für jedes Zeitintervall und Berechnung des Durchschnitts
k_values = []

for i in range(1, len(T)):
    t = times[i]
    Delta_T_i = Delta_T[i]
    k = -(1 / (t * 60)) * log(Delta_T_i / Delta_T_0)  # Umwandlung von Minuten in Sekunden
    k_values.append(k)

# Durchschnitt von k berechnen
k_average = sum(k_values) / len(k_values)

print(f"Berechneter durchschnittlicher Wert von k: {k_average:.5f} s^-1")


Erklärungen und Berechnungen:

1. Umgebungstemperatur \( T_u \) definieren und die Liste der Temperaturwerte \( T \):
python
   T = [44.2, 38.4, 34, 31.5, 29.4, 27.8, 26.6, 25.6, 24.9, 24.4]
   T_u = 22.0
   


2. Anfängliche Temperaturdifferenz \( \Delta T_0 \) berechnen:
python
   Delta_T_0 = T[0] - T_u  # Delta T_0 = 44.2 - 22.0 = 22.2
   


3. Temperaturdifferenzen \( \Delta T \) für jede Messung berechnen:
python
   Delta_T = [temp - T_u for temp in T]
   


4. Zeiten (in Minuten) für jede Messung berechnen:
python
   times = [i * time_interval for i in range(len(T))]
   


5. Faktor \( k \) für jedes Zeitintervall berechnen:
python
   for i in range(1, len(T)):
       t = times[i]
       Delta_T_i = Delta_T[i]
       k = -(1 / (t * 60)) * log(Delta_T_i / Delta_T_0)  # Umwandlung von Minuten in Sekunden
       k_values.append(k)
   


6. Durchschnitt von \( k \) berechnen:
python
   k_average = sum(k_values) / len(k_values)
   print(f"Berechneter durchschnittlicher Wert von k: {k_average:.5f} s^-1")
   


Mit diesem Skript berechnen wir den exponentiellen Abkühlungsfaktor \( k \) basierend auf den gegebenen Temperaturwerten und Zeitintervallen.
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