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Aufgabe:

Es seien A und B zwei Sprachen über einem Alphabet Σ. Sind die folgenden Aussagen wahr oder falsch? Begründen Sie Ihre Antwort. Geben Sie insbesondere an, ob die Aussagen für alle Sprachen, für eine unendliche Menge von Sprachen, für eine endliche Menge von Sprachen oder niemals gelten.

1. (Σ^∗ \ A)^∗ = Σ^∗ \ A^∗

2. A^∗ ∪ B^∗ = (A ∪ B)^∗

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Antwort mit KI erzeugt

Teil 1: (Σ∗ \ A)∗ = Σ∗ \ A∗

Diese Aussage ist falsch. Begründen wir dies im Detail.

- Σ∗: Die Menge aller Wörter (inklusive des leeren Worts) über dem Alphabet Σ.
- A: Eine Sprache, also eine Menge von Wörtern über Σ.
- \: Die Differenzmenge, also Σ∗ \ A ist die Menge aller Wörter über Σ, die nicht in A enthalten sind.

Betrachten wir die linke Seite der Gleichung:

\( (Σ∗ \ A)^{∗} \)

Hier werden alle Wörter, die nicht in A sind (Σ∗ \ A), mit sich selbst unendlich oft konkateniert. Das bedeutet, dass wir beliebige Konkatentationen von Wörtern, die nicht in A sind, bilden können.

Betrachten wir die rechte Seite der Gleichung:

\( Σ∗ \ A^{∗} \)

Hier haben wir die Menge aller Wörter über Σ, die nicht in der Menge A∗ enthalten sind. A∗ enthält alle möglichen Konkatentenationen (inklusive der leeren Konkatentation) von Wörtern aus A.

Um ein Gegenbeispiel zu konstruieren, wählen wir \(Σ = \{a, b\}\) und A sei die Sprache \(\{a\}\):

- Σ∗ = \{a, b\}^{∗}
- A∗ = \{a\}^{∗} = \{\epsilon, a, aa, aaa, \ldots\}

Links:

\( (Σ∗ \ A)^{∗} = (\{\epsilon, b, ab, ba, bb, a \ldots\} \setminus \{a\})^{∗} = \{\epsilon, b, ab, ba, bb, \ldots\}^{∗} \)

Einige Wörter aus dieser Menge wären \(\epsilon, b, ab, bab\), aber niemals \(a\) oder irgendetwas, das aus \(a\) allein besteht.

Rechts:

\( Σ∗ \ A^{∗} = Σ∗ \setminus \{\epsilon, a, aa, aaa, \ldots\} \)

Dies ergibt die Menge aller Wörter, die nicht \(a\), \(aa\), \(aaa\), etc. sind. Beispielsweise \(b, ab, ba, bb, abab,\) etc.

Es ist ersichtlich, dass die Mengen unterschiedlich sind. Ein spezifisches Gegenbeispiel ist das Wort "b". Es ist in beiden Seiten der Gleichung enthalten. Aber das Wort \(a\) ist nicht auf beiden Seiten der Gleichung enthalten.

Teil 2: \(A^{∗} ∪ B^{∗} = (A ∪ B)^{∗}\)

Diese Aussage ist wahr. Begründen wir dies im Detail.

- \(A^{∗}\) ist die Kleene-Hülle von A, also die Menge aller endlichen Verkettungen von Wörtern in A (inklusive des leeren Worts).
- \(B^{∗}\) ist die Kleene-Hülle von B, also die Menge aller endlichen Verkettungen von Wörtern in B (inklusive des leeren Worts).
- \(A ∪ B\) ist die Vereinigung der Mengen A und B.

Betrachten wir die linke Seite der Gleichung:

\( A^{∗} ∪ B^{∗} \)

Dies bedeutet, dass wir entweder nur Wörter aus \(A^{∗}\) oder nur aus \(B^{∗}\) betrachten.

Betrachten wir die rechte Seite der Gleichung:

\( (A ∪ B)^{∗} \)

Hier betrachten wir die Kleene-Hülle von \((A ∪ B)\). Das bedeutet, \((A ∪ B)^{∗}\) enthält alle endlichen Verkettungen von Wörtern aus \(A\) und \(B\), also auch Kombinationen wie \(a_1b_1a_2b_2\) und so weiter, wo \(a_i \in A\) und \(b_i \in B\).

Da wir bei den endlichen Verkettungen von Wörtern sowohl aus \(A\) als auch aus \(B\) alle möglichen Kombinationen berücksichtigen, deckt \((A ∪ B)^{∗}\) auch die Verkettungen in \(A^{∗}\) und \(B^{∗}\) ab, und daher ist diese Gleichung wahr.

Ein formaler Beweis folgt diese Schritte:
- Jedes Wort in \(A^{*}\) ist auch in \((A \cup B)^{*}\), weil jedes \(w \in A\) auch in \(A \cup B\) ist und mehr Verkettungen von \(w \in A^{*}\) auch in der Kleene-Hülle von \((A \cup B)\) bleiben.
- Ebenso beinhaltet \((A \cup B)^{*}\) jede Verkettungen von Wörtern in \(B^{*}\).

Somit sind sie gleich.

Insgesamt ist:
1. Falsch
2. Wahr
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