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Frage:

Pränexe Normalform, Umwandlung in Klauselmenge

Wenden Sie den Algorithmus von Martelli-Montanari schrittweise auf die folgenden Mengen von Atomen an und finden sie jeweils den mgu oder begründen Sie, warum ein mgu nicht existiert:

1. {P(g(a), x, f(h(y))), P(y, f(z), f(z))}
2. {Q(x, f(g(a)), f(x)), Q(f(a), y, y)}
3. {R(x, g(f(a)), f(x)), R(f(y), z, y)}
4. {S(a, x, f(g(y))), S(z, h(z,u), f(u))}

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Pränexe Normalform und Klauselmenge

Die Pränexe Normalform (PNF) ist eine spezielle Form der logischen Formel in der Prädikatenlogik, bei der alle Quantoren an den Anfang der Formel verschoben werden. Die Klauselmenge ist eine Menge von Klauseln, bei denen jede Klausel eine Disjunktion von Literalen ist.

Um die unifikatorische Lösung von Atom-Mengen unter dem Martelli-Montanari-Algorithmus zu bestimmen, folgen wir mehreren Schritten, bei denen wir sukzessive die Terme der Atome vergleichen und versuchen, eine sogenannte "Most General Unifier" (mgu, allgemeinster Unifikator) zu finden.

Schritte zur feststellung des mgu:

Der Algorithmus funktioniert, indem er versucht, Terme durch Substitutionen gleichzumachen. Hier sind die grundlegenden Regeln:
1. Terme direkt vergleichen: Wenn sie identisch sind, ist keine Substitution erforderlich.
2. Variablen: Eine Variable kann durch einen beliebigen Term ersetzt werden, der diese Variable nicht enthält (um Zirkularität zu vermeiden).
3. Strukturelle Übereinstimmung: Funktoren und ihre Parameter müssen zueinander passen (gleiche Funktoren und gleiche Anzahl an Parametern).

Hier sind die schrittweisen Lösungen für die angegebenen Mengen von Atomen:

Beispiel 1: \( \{P(g(a), x, f(h(y))), P(y, f(z), f(z))\} \)

1. \( P(g(a), x, f(h(y))) \) und \( P(y, f(z), f(z)) \) vergleichen.
2. Setze \( g(a) = y \): \( y \mapsto g(a) \).
3. Setze \( x = f(z) \): \( x \mapsto f(z) \).
4. Setze \( f(h(g(a))) = f(z) \): \( z \mapsto h(g(a)) \).

Die mgu ist: \( \{y \mapsto g(a), x \mapsto f(h(g(a))), z \mapsto h(g(a))\} \).

Beispiel 2: \( \{Q(x, f(g(a)), f(x)), Q(f(a), y, y)\} \)

1. \( Q(x, f(g(a)), f(x)) \) und \( Q(f(a), y, y) \) vergleichen.
2. Setze \( x = f(a) \).
3. Setze \( f(g(a)) = y \): \( y \mapsto f(g(a)) \).
4. Setze \( f(f(a)) = f(f(a)) \).

Die mgu ist: \( \{x \mapsto f(a), y \mapsto f(g(a))\} \).

Beispiel 3: \( \{R(x, g(f(a)), f(x)), R(f(y), z, y)\} \)

1. \( R(x, g(f(a)), f(x)) \) und \( R(f(y), z, y) \) vergleichen.
2. Setze \( x = f(y) \).
3. Setze \( g(f(a)) = z \): \( z \mapsto g(f(a)) \).
4. Setze \( f(f(y)) = y \).

In diesem Fall gibt es ein Problem, da die Gleichung \( f(f(y)) = y \) bedeutet, dass \( y \) durch \( f(f(y)) \) ersetzt werden müsste und dies eine Zirkularität verursacht. Somit existiert kein mgu für diese Menge.

Beispiel 4: \( \{S(a, x, f(g(y))), S(z, h(z,u), f(u))\} \)

1. \( S(a, x, f(g(y))) \) und \( S(z, h(z,u), f(u)) \) vergleichen.
2. Setze \( a = z \): \( z \mapsto a \).
3. Setze \( x = h(a,u) \): \( x \mapsto h(a,u) \).
4. Setze \( f(g(y)) = f(u) \): \( u \mapsto g(y) \).

Die mgu ist: \( \{z \mapsto a, x \mapsto h(a,g(y)), u \mapsto g(y)\} \).
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