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Aufgabe:

Sie wollen Prüfungsergebnisse mit den 14 möglichen Werten „1,0“, „1,3“, „1,7“, „2,0“, „2,3“, „2,7“, „3,0“, „3,3“, „3,7“, „4“, „5“, „Nicht erschienen“, „Nicht zugelassen“, „Betrugsversuch“ mittels der 11 Handzeichen aus Aufgabe 1 übertragen.

a) (1 Punkt) Welchen Informationsgehalt hat ein solches Prüfungsergebnis?

b) (2 Punkte) Notieren Sie eine Kodierungsvorschrift, die für die Übertragung eines einzelnen Prüfungsergebnisses möglichst effizient ist (mit möglichst wenigen Handzeichen auskommt).

c) (2 Punkte) Notieren Sie eine Kodierungsvorschrift, die für die Übertragung sehr vieler Prüfungsergebnisse nacheinander möglichst effizient ist (mit möglichst wenigen Handzeichen auskommt).

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a) Welchen Informationsgehalt hat ein solches Prüfungsergebnis?

Der Informationsgehalt eines Prüfungsergebnisses kann durch die Entropie berechnet werden. Die Entropie \(H\) in der Informationstheorie definiert das erwartete Maß an Information. Sie wird durch \(H(X) = -\sum_{i=1}^{n} p(x_i) \log_2 p(x_i)\) berechnet, wobei \(p(x_i)\) die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses \(x_i\) ist.

Angenommen, jede der 14 möglichen Bewertungen ist gleich wahrscheinlich, beträgt die Wahrscheinlichkeit für jede Bewertung

\( p(x_i) = \frac{1}{14} \)

Die Entropie \(H\) ist dann:

\( H(X) = -\sum_{i=1}^{14} \frac{1}{14} \log_2 \frac{1}{14} = -14 \cdot \frac{1}{14} \log_2 \frac{1}{14} = \log_2 14 \approx 3.807 \text{ bits} \)

Dies bedeutet, dass der durchschnittliche Informationsgehalt eines Prüfungsergebnisses etwa 3.807 Bits beträgt.

b) Kodierungsvorschrift für die Übertragung eines einzelnen Prüfungsergebnisses

Um die Übertragung eines einzelnen Prüfungsergebnisses zu kodieren, können wir eine Binärkodierung verwenden, die \( \lceil \log_2 14 \rceil \) Bits benötigt, also 4 Bits, weil \( \log_2 14 \approx 3.807 \) und die nächste ganze Zahl 4 ist. Jeder Wert wird einer eindeutigen 4-Bit-Kombination zugeordnet, jedoch sind 4 Bits (2^4 = 16 Kombinationen) für 14 Werte etwas überdimensioniert, deshalb gäbe es 2 ungenutzte Kombinationen.

Hier ist ein Beispiel für solch eine Kodierungsvorschrift:


1,0 = 0000
1,3 = 0001
1,7 = 0010
2,0 = 0011
2,3 = 0100
2,7 = 0101
3,0 = 0110
3,3 = 0111
3,7 = 1000
4 = 1001
5 = 1010
Nicht erschienen = 1011
Nicht zugelassen = 1100
Betrugsversuch = 1101


Die verbleibenden Kodierungen 1110 und 1111 sind ungenutzt.

c) Kodierungsvorschrift für die Übertragung sehr vieler Prüfungsergebnisse nacheinander

Bei der Übertragung vieler Prüfungsergebnisse nacheinander wäre es praktisch, eine Methode zu verwenden, die den Kontext oder Wiederholungen effizient nutzt, wie z.B. eine Huffman-Kodierung. Diese Methode reduziert die Anzahl der Bits je nach Häufigkeit der Zeichen. Wenn bestimmte Prüfungsergebnisse häufiger sind als andere, könnte diese Methode die durchschnittliche Bitlänge weiter reduzieren.

Hier sind die Schritte, um eine Huffman-Kodierung zu konstruieren:
1. Zähle die Häufigkeit jedes Prüfungsergebnisses in der Menge der Daten.
2. Erstelle für jedes Prüfungsergebnis einen Knoten und ordne die Knoten in eine Prioritätswarteschlange, basierend auf ihrer Häufigkeit.
3. Entferne die zwei Knoten mit den kleinsten Gewichten aus der Warteschlange. Erstelle einen neuen Knoten mit diesen beiden Knoten als Kinder und dem Gewicht, das deren Summe ist.
4. Wiederhole diesen Vorgang, bis nur noch ein Knoten übrig bleibt. Dieser einzige verbleibende Knoten ist der Wurzelknoten des Huffman-Baums.
5. Weise jedem Blatt im Baum (jedes Prüfungsergebnis) einen Binärcode entsprechend der Route zu diesem Blatt im Baum zu.

Da jeder Fall spezifisch ist, müsste man für vorhandene Daten eine genaue Häufigkeitsanalyse durchführen und den Huffman-Baum entsprechend konstruieren. Hier ist ein einfaches Beispiel dieser Huffman-Kodierung für eine fiktive Häufigkeitsverteilung:

Angenommen, diese sind die fiktiven Häufigkeiten:


1,0 = 10
1,3 = 15
1,7 = 5
2,0 = 10
2,3 = 20
2,7 = 25
3,0 = 15
3,3 = 5
3,7 = 5
4 = 50
5 = 50
Nicht erschienen = 5
Nicht zugelassen = 5
Betrugsversuch = 5


Ein mögliches Ergebnis könnte (nach der Huffman-Kodierung) folgende Verteilung haben:


1,0 = 1100
1,3 = 1101
1,7 = 11100
2,0 = 11101
2,3 = 000
2,7 = 001
3,0 = 0100
3,3 = 11110
3,7 = 11111
4 = 10
5 = 11
Nicht erschienen = 111110
Nicht zugelassen = 111111
Betrugsversuch = 0101


In der Realität, nach einer genauen Häufigkeitsanalyse, würde jeder Prüfungsergebniscode so festgelegt, dass die durchschnittliche Länge der Binärcodes minimiert wird.
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