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Aufgabe:

Zeigen Sie, dass das Null-Halteproblem unentscheidbar ist, indem Sie nur Theorem 4.44 (Busy Beaver ist nicht berechenbar) benutzen (keine sonstigen Reduktionen oder die Unentscheidbarkeit der anderen Halteprobleme).

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Einführung

Das Null-Halteproblem ist ein Entscheidungsproblem, das fragt, ob eine gegebene Turing-Maschine \( M \) mit einer spezifischen Eingabe \( w \) jemals hält.

Busy Beaver Theorem 4.44

Das Theorem 4.44 besagt, dass die Funktion \( BB(n) \) (Busy Beaver Funktion), die die maximale Anzahl von 1-er, die jede \( n \)-Zustand Turing-Maschine auf einem leeren Band drucken kann, nicht berechenbar ist. Das bedeutet, dass es keine Turing-Maschine gibt, die diese Funktion berechnen kann.

Beweis der Unentscheidbarkeit des Null-Halteproblems

Wir beweisen die Unentscheidbarkeit des Null-Halteproblems durch einen Widerspruch unter der Annahme, dass das Null-Halteproblem entscheidbar ist, und dann zeigen wir, wie das Busy Beaver Theorem diese Annahme widerlegt.

1. Annahme: Das Null-Halteproblem sei entscheidbar

Angenommen, es gibt eine Turing-Maschine \( H \), die das Null-Halteproblem entscheiden kann. Das bedeutet, für jede gegebene Turing-Maschine \( M \) und Eingabe \( w \), kann \( H \) entscheiden, ob \( M \) mit Eingabe \( w \) endet oder nicht.

2. Erstellen einer Turing-Maschine basierend auf \( H \)

Wir konstruieren eine Turing-Maschine \( BB \), die die Busy Beaver Funktion \( BB(n) \) berechnen kann, indem wir \( H \) verwenden.

3. Eingang zur Berechnung von \( BB(n) \)

\( BB \) nimmt eine Zahl \( n \) als Eingabe. Es wird alle n-Zustands Turing-Maschinen \( T_1, T_2, \ldots, T_k \) auflisten, die auf einem leeren Band starten.

4. Verwenden von \( H \)

Für jede \( n \)-Zustands Turing-Maschine \( T_i \) kann \( BB \) die Maschine \( H \) verwenden, um zu überprüfen, ob \( T_i \) auf einem leeren Band jemals hält (Null-Halteproblem).

- Wenn \( H \) entscheidet, dass \( T_i \) hält, simuliert \( BB \) die Ausführung von \( T_i \) und zählt die Anzahl der 1-er, die sie produziert.
- Wenn \( H \) entscheidet, dass \( T_i \) nicht hält, überspringt \( BB \) diese Maschine.

5. Bestimmen des Maximums

Nachdem \( BB \) alle \( n \)-Zustands Turing-Maschinen überprüft hat, wählt es die maximale Anzahl von 1-er, die irgendeine \( T_i \) produziert hat, nachdem sie angehalten hat.

6. Widerspruch

Damit hat \( BB \) die Funktion \( BB(n) \) berechnet. Dies steht im Widerspruch zu Theorem 4.44, das besagt, dass die Busy Beaver Funktion nicht berechenbar ist.

Schlussfolgerung

Die oben beschriebene Argumentation zeigt, dass die Annahme, dass das Null-Halteproblem entscheidbar ist, zu einem logischen Widerspruch führt. Daher muss das Null-Halteproblem unentscheidbar sein.

Zusammenfassend

Durch den Widerspruch mittels der Annahme, dass das Null-Halteproblem entscheidbar ist und die Nicht-Berechenbarkeit der Busy Beaver Funktion gemäß Theorem 4.44, folgen wir, dass das Null-Halteproblem unentscheidbar ist.
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