Wie viele Schlüssel aus dem offenen Intervall sind enthalten? Pseudocode

Question

Aufgabe:

Gegeben sei ein geordneter, binärer Suchbaum T mit Wurzel w, insgesamt n Knoten und Höhe h, in dem ganzzahlige Schlüssel gespeichert sind. Dabei bezeichne v.key den an Knoten v gespeicherten Schlüssel, v.left und v.right den linken bzw. rechten Sohn von Knoten v. Geben Sie für die folgende Aufgabenstellung eine Implementierung in Pseudocode an, die die geforderte Laufzeit hat.

Für zwei gegebene Zahlen a und b, a<b, soll in Zeit O(h) berechnet werden, wie viele Schlüssel aus dem offenen Intervall Ia,bI in T enthalten sind.

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Lösungsvorschlag in Pseudocode

Um die gestellte Aufgabe zu erfüllen, müssen wir eine Methode implementieren, die durch den gegebenen binären Suchbaum iteriert und zählt, wie viele Schlüssel innerhalb des offenen Intervalls \(a < x < b\) liegen, wobei \(x\) der Wert jedes Knotens ist. Die vorgeschlagene Methode nutzt die Eigenschaften des binären Suchbaums: Alle Werte im linken Subbaum eines Knotens \(v\) sind kleiner als \(v.key\) und alle Werte im rechten Subbaum sind größer als \(v.key\). Dies ermöglicht es, viele Knoten zu überspringen, was zur geforderten Zeitkomplexität von \(O(h)\) beiträgt, wobei \(h\) die Höhe des Baumes ist.

Der Pseudocode könnte wie folgt aussehen:

Funktion countKeysInInterval(v, a, b)
    Falls v == null
        Rückgabewert 0    // Basisfall: Leerer Baum hat keine Schlüssel im Intervall

    summe = 0

    // Fall: Schlüssel des aktuellen Knotens liegt im Intervall
    Falls a < v.key und v.key < b
        summe = 1 + countKeysInInterval(v.left, a, b) + countKeysInInterval(v.right, a, b)

    // Fall: Schlüssel des aktuellen Knotens ist kleiner oder gleich a
    // Wir müssen nur im rechten Subbaum weitersuchen
    Sonst Falls v.key <= a
        summe = countKeysInInterval(v.right, a, b)

    // Fall: Schlüssel des aktuellen Knotens ist größer oder gleich b
    // Wir müssen nur im linken Subbaum weitersuchen
    Sonst Falls v.key >= b
        summe = countKeysInInterval(v.left, a, b)

    Rückgabewert summe

Implementierungs-Hinweise

1. v repräsentiert den aktuellen Knoten, mit dem wir arbeiten; beginnend mit der Wurzel des Baumes w.

2. a und b sind die Grenzen des offenen Intervalls. Die Bedingung \(a < b\) wird als erfüllt vorausgesetzt, wie in der Aufgabenstellung angegeben.

Diese Funktion betrachtet jeden Knoten maximal ein Mal entlang des Pfades von der Wurzel bis zu den Blättern, entsprechend der Höhe \(h\) des Baumes. Deshalb erfüllt der Algorithmus die geforderte Zeitkomplexität von \(O(h)\).

Wichtige Annahmen

- Der Baum ist ordnungsgemäß konstruiert, mit allen Schlüsseln im linken Subbaum eines Knotens, die kleiner sind als der Schlüssel dieses Knotens, und allen Schlüsseln im rechten Subbaum, die größer sind.

- Der Baum kann eine unterschiedliche Anzahl von Schlüsseln in seinen linken und rechten Subbäumen haben, was die Höhe \(h\) und somit die Laufzeit beeinflusst.

- Die Höhe \(h\) des Baumes ist definiert als die Länge des längsten Pfades von der Wurzel zu einem Blatt.