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Aufgaben:

1. Berechnen der Kondition k

\( \frac{1-\cos (x)}{x^{2}} \)

für x an der Stelle 0. Hinweis: Formen Sie erst um und nutzen Sie dann die Taylorapproximationen \( \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^3) \) und \( \sin(x) = x + o(x^2) \) bevor Sie den Grenzwert ermitteln.

2. Implementiert man die Formel, zeigt sich das Problam für x nahe 0 trotzdem fehleranfällig. Woran liegt das?

3. Wie könnte man das Problem verhindern? Hinweis: Überlegen Sie sich, welchen Term man äquivalent ersetzen könnte.


Ansatz:

f(x)=(1-cos(x))/x2
f'(x)=(sin(x)*x-2+2cos(x))/x3 (ergibt sich aus Quotientenregel )

k=f'/f *x
=(sin(x)*x-2+2cos(x))/(1-cos(x))

Taylor einsetzen:

≈(x2-2+2 -x2)/(x2/2)
=0
k(0)=0

Das war die Rechnung.


Fragen 2 und 3 sind noch offen.

von

1 Antwort

0 Daumen

Liegt vielleicht daran, dass im Zähler Auslöschung auftritt, wenn cos(x) sehr nahe an 1 liegt.

https://de.wikipedia.org/wiki/Ausl%C3%B6schung_(numerische_Mathematik)

von

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