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IEEE 754 32bit Single Precision - Welcher Ausnahmefall greift hier?
Zuerst sollten wir die Struktur einer IEEE 754 32-Bit Single Precision (Float) Zahl untersuchen:
- Das erste Bit ist das Vorzeichenbit (\(v\)) - \(0\) für positive und \(1\) für negative Werte.
- Die nächsten 8 Bits sind für den Exponenten (\(e\)) - diese werden im Bias-Format gespeichert. Der Bias beträgt \(127\), was bedeutet, dass der tatsächliche Exponent berechnet wird als \(e_{dez} - 127\).
- Die letzten 23 Bits repräsentieren die Mantisse (\(m\)).
Gegeben haben wir die binäre Darstellung:
\(1 0000 0000 1000 0000 0000 0000 0000 000\)
Dies lässt sich in die Komponenten zerlegen:
- \(v = 1\),
- \(e = 0000 0000\),
- \(m = 1000 0000 0000 0000 0000 000\).
Bevor wir fortfahren, sollten wir klären, wie die Zahl interpretiert wird:
- Das Vorzeichen \(-\) (wegen \(v = 1\)),
- Exponent \(e\) umgerechnet in Dezimal ist \(0\) (was jedoch nach dem Abziehen von \(127\) als \(0 - 127 = -127\) nicht direkt als Exponent verwendet wird. Stattdessen weist ein Exponent von \(0000 0000\) auf eine
Denormalisierte Zahl hin).
Denormalisierte Zahlen sind dafür gedacht, sehr kleine Werte in der Nähe von Null darzustellen, die nicht mit normalisierten Zahlen repräsentiert werden können. Für solche Zahlen:
- Der Exponent wird fest auf \(-126\) (nicht \(-127\)) gesetzt, weil der Bias \(127\) und denormalisierte Zahlen einen implizit präzidierten Exponenten von \(1 - 127 = -126\) haben.
- Beginnt die Mantisse mit \(0.\) anstatt der impliziten \(1.\) bei normalisierten Zahlen.
Basierend auf deinen Angaben und dem Verständnis, dass es sich um eine denormalisierte Zahl handelt, scheint die anfängliche Interpretation fehlerhaft. Der kritische Fehler besteht darin, dass der gegebene Binärwert korrekt als denormalisierte Zahl behandelt werden sollte. Das bedeutet:
- Der Exponent ist fest auf \(-126\),
- Die Mantisse ist \(0.1\) gefolgt von \(22\) Nullen (wenn wir den impliziten Vorsatz betrachten).
Wenn wir dies in die Formel für denormalisierte Zahlen einsetzen, bekommen wir:
\(
-1 \times 1.0 \times 2^{-126}
\)
Allerdings wurde dein Wert falsch interpretiert.
Dein Update korrigiert den Wert zu \(2^{-127}\), basierend auf dem online Rechner. Es scheint, als sei ein Missverständnis bei der Interpretation der Rechnerausgabe entstanden. Tatsächlich sind denormalisierte Zahlen dazu da, Werte sehr nahe an Null darzustellen, und \(2^{-127}\) ist eine solche Näherung, wobei der genaue Wert von der spezifischen Repräsentation der Mantisse abhängt.
Die korrekte Interpretation für die gegebene binäre Zeichenfolge als denormalisierte Zahl wäre tatsächlich nahezu \(0\), aber negativ und nicht genau \(-2^{-127}\), da denormalisierte Zahlen nicht direkt durch \(2^{e_{dez}}\) berechnet werden, sondern durch eine angepasste Formel, die die spezifische Repräsentation der denormalisierten Mantisse berücksichtigt.
Die Verwirrung entsteht aus der Fehlinterpretation der Exponenten- und Mantissenregeln für denormalisierte Zahlen. Die kleinsten darstellbaren (normalisierten) Zahlen sind tatsächlich nahe an \(\pm2^{-126}\). Denormalisierte Zahlen erlauben die Darstellung noch kleinerer Werte, die näher an Null sind, was in deinem Fall verwendet wird.
Letztlich ist der hier erwähnte Fall ein Beispiel für eine denormalisierte Zahl, die speziell dafür konzipiert ist, sehr kleine Zahlen darzustellen, die näher an Null liegen als das, was durch normalisierte Formate möglich ist.
