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Probleme beim Verstehen der Rechtskongruenzrelation:

Definitionen:

1)

Sei L ∈ Σ*, x,y ∈ Σ* heißen Äquivalent bzgl. L (x ≈ y), falls gilt:

∀ z ∈ Σ*    xz ∈ L ⇔ yz ∈ L

(≈ heißt auch Rechtskongruenzrelation)


2)

Sei M ein DEA über Σ*. Zwei Wörter x,y ∈ Σ* heißen äquivalent bzgl. M (x ~ y), wenn gilt:

∃q ∈ K mit (s,x) |− (q,λ) und (s,y) |− (q,λ)

(in Worten: M erreicht bei Anwendung der gleichen Rechnung auf x und y denselben Zustand)


≈ und ~ sind Äquivalenzrelationen auf Σ* und aus x ~ y folgt x ≈ y.


Ansatz/Problem:

Nun habe ich z.B. zwei unterschiedliche Automaten, die von der selben Sprache beschrieben werden.

L(M1) = {w ∈{a,b}* | die Anzahl der b(w) ist gerade}; (M1 hat 4 Zustände, davon 2 Endzustände)

L(M2) ={w ∈{a,b}* | die Anzahl der b(w) ist gerade}; (M2 hat 2 Zustände, davon 1 Endzustand)


Die Automaten kann ich ohne Probleme zeichnen.

Nun wurde aber gesagt, dass

L(M2) = L(M1)

≈ L(M2)  = ≈ L(M1)

~ M2 ⊇ ~ M1

~ M2  =  ≈ L(M2)

~ M1 ⊆ L(M1)


L(M2) = L(M1) ist klar.

Aber warum stehen die anderen in dieser Beziehung und wie sehen ≈ L(M2) ; L(M1) ;  ~ M1 ;  ~ M2  überhaupt aus? Kann man das als eine Art Menge sehen, wie sieht der Inhalt aus, das muss man ja irgendwie erkennen können, damit man diese Aussagen über die Beziehungen treffen kann?

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Rechtskongruenzrelationen verstehen (Automaten)

Um die Beziehungen und Ausdrücke \(≈_{L(M2)}\), \(≈_{L(M1)}\), \(~_{M1}\), und \(~_{M2}\) sowie ihre Verhältnisse zueinander zu verstehen, müssen wir zunächst auf die Grundlagen von Rechtskongruenzrelationen und den definierten Äquivalenzklassen eingehen.

Rechtskongruenzrelation \(≈\) bezüglich einer Sprache L

Die Rechtskongruenzrelation \(≈_L\) gruppiert alle Wörter \(x, y \in \Sigma^*\), die dieselben Verlängerungen \(z \in \Sigma^*\) haben, sodass \(xz \in L\) genau dann, wenn \(yz \in L\). Das bedeutet, wenn man an beide Wörter irgendeine Fortsetzung anhängt, bleibt der Wahrheitswert (ob das resultierende Wort in der Sprache ist oder nicht) für beide Wörter gleich.

Für die Sprache \(L\) = {w ∈ {a,b}* | die Anzahl der b(w) ist gerade} können wir sagen, dass alle Wörter, die mit einer geraden Anzahl von \(b\)'s enden, untereinander äquivalent sind, und diejenigen, die mit einer ungeraden Anzahl von \(b\)'s enden, ebenfalls untereinander, aber nicht zu der ersten Gruppe.

Zustandsäquivalenz \(~\) in einem DEA

Die Zustandsäquivalenz \(~_M\) für einen deterministischen Zustandsautomaten (DEA) klassifiziert Wörter \(x, y\) als äquivalent, wenn ihre Verarbeitung durch den Automaten \(M\) im selben Zustand endet. Das heißt, nach dem Lesen der beiden Eingaben \(x\) und \(y\) befindet sich der Automat im gleichen Zustand, unabhängig davon, welches Wort gelesen wurde.

Beziehungen zwischen \(≈_L(M2)\), \(≈_L(M1)\), \(~_{M1}\), und \(~_{M2}\)

- \(L(M2) = L(M1)\) besagt, dass beide Automaten dieselbe Sprache erkennen, nämlich Wörter über {a,b} mit einer geraden Anzahl von \(b\)'s.

- \(≈_{L(M2)} = ≈_{L(M1)}\) folgt direkt daraus, weil beide die gleiche Sprache erkennen und somit die Rechtskongruenzrelation durch die Eigenschaft der Sprache (gerade/ungerade Anzahl von \(b\)'s) definiert ist.

- \(~_{M2} ∈ ~_{M1}\) deutet darauf hin, dass wenn zwei Wörter im kleineren Automaten \(M2\) als äquivalent betrachtet werden (zum selben Zustand führen), sie dies auch im größeren Automaten \(M1\) sein werden. Da \(M2\) weniger Zustände hat, ist seine Fähigkeit, Wörter zu unterschieden (basierend auf der Anzahl der \(b\)'s), eingeschränkter oder mindestens so gut wie die von \(M1\).

- \(~_{M2} = ≈_{L(M2)}\) zeigt, dass die Zustandsäquivalenz im Automaten \(M2\) perfekt mit der Rechtskongruenzrelation der Sprache \(L\) übereinstimmt. Das impliziert, dass \(M2\) minimal ist in Bezug auf die Anzahl der Zustände für diese Sprache \(L\).

- \(~_{M1} ⊆ ≈_{L(M1)}\) legt nahe, dass, obwohl \(M1\) möglicherweise Zustände hat, die keine zusätzliche Unterscheidung bieten (da er mehr Zustände hat als notwendig), alle Zustandsäquivalenzen in \(M1\) dennoch gültige Rechtskongruenzen sind.

Inhalt und Visualisierung der Mengen

Ein Ansatz zur Visualisierung oder Interpretation dieser Mengen und ihrer Inhalte besteht darin, die Äquivalenzklassen explizit zu konstruieren oder zumindest zu beschreiben.

Für \(≈_{L(M1)}\) und \(≈_{L(M2)}\) wäre dies z.B.:

- Eine Äquivalenzklasse für Wörter, die eine gerade Anzahl von \(b\)'s enthalten.
- Eine Äquivalenzklasse für Wörter, die eine ungerade Anzahl von \(b\)'s enthalten.

Für \(~_{M1}\) und \(~_{M2}\):

- \(M2\) könnte zum Beispiel zwei Zustände haben: \(q_0\) für eine gerade Anzahl von \(b\)'s (inklusive \(0\)) und \(q_1\) für eine ungerade Anzahl. Dann sind alle Wörter, egal wie viele \(a\)'s sie enthalten, äquivalent, solange sie die gleiche Parität von \(b\)'s beibehalten.
- \(M1\) könnte darüber hinaus weitere Unterscheidungen treffen (z.B. basierend auf der Anzahl der \(a\)'s oder bestimmten Wortmustern), diese wären aber für die Unterscheidung hinsichtlich \(L\) nicht notwendig und somit untergeordnete bzw. eingeschlossene Äquivalenzen im Vergleich zu \(≈_{L(M1)}\).

Es ist wichtig zu verstehen, dass diese Konstruktionen stark vom spezifischen Aufbau der Automaten abhängen, und die oben genannten Beispiele basieren auf den gegebenen Definitionen und nicht auf spezifischen Zustandsübergängen oder Strukturen der Automaten \(M1\) und \(M2\).
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