Äquivalenzrelation aufzeigen, Äquivalenzklasse darstellen

Question

Guten Tag liebe Matheversteher!

Ich knoble seit zwei Tagen an dieser Aufgabe herum und komme auf keine mir adäquat erscheinende Lösung. Wahrscheinlich liegt die Antwort auf der Hand nur ich kann sie durch mein verkrampftes hinschauen nicht erkennen.

Ich wäre sehr dankbar wenn jemand eine Lösung anbieten kann damit ich unsere Gedankengänge vergleichen kann und so hoffentlich auch auf die Lösung komme.

Vielen herzlichen Dank schonmal im voraus.

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Gegeben ist ein Alphabet Σ.

Die Relation rel auf der Menge Σ* sei definiert durch

w rel v    gdw.   |w| = |v|
a) Zeigen Sie das rel eine Äquivalenzrelation ist.

b) Sei nun Σ={ 0, 1 } und die Relation rel auf der Menge Σ* so definiert, wie in Aufgabe a). Ist w = 010, wie sieht dann die Äquivalenzklasse [w]_rel von w bezüglich rel aus?

Answer 1

a) Zeigen Sie das rel eine Äquivalenzrelation ist.

i)     x rel x gilt für alle x aus Σ* ;   denn  |x| = |x| 

ii)  wenn     x rel  y   dann auch   y  rel  x   denn  wenn |x| = |y| dann auch |y| = |x|

iii) transitiv   entsprechend

b) Sei nun Σ={ 0, 1 } und die Relation rel auf der Menge Σ* so definiert,

wie in Aufgabe a). Ist w = 010,

wie sieht dann die Äquivalenzklasse [w]_rel von w bezüglich rel aus? 

Die rel besagt ja:  Beide Wörter gleich lang, also ist die Klasse

{ 010   ;  000;   001;   101;   110 ;  101;  011;   111 } halt alle

Wörter der Länge 3.