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Aufgabe:

Wir sollen einen möglichst kleinen regulären Ausdruck e angeben, der folgende Sprache erkennt:

L(e) = L(A) ∩ L(A)^(r)


Ausführlichere Version

Endliche Automaten & Sprachen: Möglichst kleiner regulärer Ausdruck für L(e) := L(A) ∩ L(A)^(r)?

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wir sollten zwei Automaten ersetllen der eine DFA A soll dass Wort abb und der andere DFA die Reversion davon akzeptiren. Soweit kein Problem. Nun sollen wir einen möglichst kleinen Regulären Ausdruck angeben, der folgende Sprache erkennt: L(e) := L(A) ∩ L(A)^(r)

e = expression = Ausdruck

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Antwort mit KI erzeugt

Lösung:

Um den regulären Ausdruck \(e\) zu finden, der die Sprache \(L(e) = L(A) \cap L(A)^r\) erkennt, müssen wir zuerst verstehen, was \(L(A)\) und \(L(A)^r\) sind.

Gegeben ist ein DFA \(A\), der das Wort "abb" akzeptiert. Das bedeutet, dass \(L(A) = \{ "abb" \}\).

Die Reversion von \(L(A)\), bezeichnet als \(L(A)^r\), ist einfach die Menge der umgekehrten Wörter von \(L(A)\). Da wir nur das Wort "abb" in \(L(A)\) haben, ist \(L(A)^r = \{ "bba" \}\).

Die Schnittmenge \(L(A) \cap L(A)^r\) enthält alle Wörter, die sowohl in \(L(A)\) als auch in \(L(A)^r\) vorhanden sind. Da keine Wörter in beiden Sprachen übereinstimmen (weil "abb" ≠ "bba"), ist die resultierende Sprache \(L(e)\) die leere Menge, also \(L(e) = \{\}\).

Somit ist der möglichst kleine reguläre Ausdruck \(e\), der \(L(e)\) erkennt, ein Ausdruck, der die leere Menge repräsentiert. Ein allgemein anerkannter regulärer Ausdruck dafür ist \(\emptyset\) (die leere Sprache) oder alternativ ein Ausdruck, der garantiert kein Wort generiert, wie z.B. \(0\) (in der Annahme, dass \(0\) kein gültiger Buchstabe in unserem Alphabet ist).

Zusammenfassung:

Da die gegebene Sprache \(L(e) = L(A) \cap L(A)^r\) keine gemeinsamen Wörter enthält, ist die resultierende Sprache die leere Menge, und der möglichst kleine reguläre Ausdruck, der diese Sprache erkennt, ist \(\emptyset\) oder ein äquivalentes Symbol, das eine leere Sprache darstellt.
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