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Aufgabe:

Gegeben sei eine Sprache L ⊆ Σ*. Dann ist L^(r) ⊆ Σ* die Sprache der Reverse von L, definiert als L^(r) := {w^(r) : w ∈ L}.

Zu jedem e ∈ REG(∑) gibt es einen Ausdruck e^(r) ∈ REG(∑) mit L(e^(r)) = L(e)^(r).

REG(∑) beschreibt hierbei die Menge aller möglichen regulären Ausdrücke über dem  Alphabet ∑.

Beweise über vollständige Induktion sind nicht erforderlich, aber die Korrektheit der Definitionen zu den 3 Operationen soll kurz gezeigt werden.

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Reguläre Sprachen und Ausdrücke

Reguläre Sprachen sind solche, die durch reguläre Ausdrücke beschrieben werden können. Ein regulärer Ausdruck beschreibt eine Menge von Zeichenfolgen über einem bestimmten Alphabet \(\Sigma\). Die Operationen, die zur Bildung regulärer Ausdrücke verwendet werden, sind die Vereinigung, die Konkatenation und die Kleene-Stern Operation. Lassen Sie uns untersuchen, wie die Operation des Reversens einer Sprache \((L^r)\) mit diesen drei Operationen in Bezug auf reguläre Ausdrücke \(e \in \text{REG}(\Sigma)\) funktioniert.

1. Vereinigung: Angenommen, wir haben zwei reguläre Ausdrücke \(e_1\) und \(e_2\). Die Vereinigung dieser zwei regulären Ausdrücke, notiert als \(e_1 + e_2\), beschreibt die Sprache, die entweder von \(e_1\) oder \(e_2\) akzeptiert wird. Wenn wir das Reverse \(e^r\) der Vereinigung betrachten, sollte dies die Vereinigung der Reversen von \(e_1\) und \(e_2\) sein. Also, \((e_1 + e_2)^r = e_1^r + e_2^r\), was bedeutet, dass die Operation des Reversens mit der Vereinigung kompatibel ist.

2. Konkatenation: Für zwei reguläre Ausdrücke \(e_1\) und \(e_2\), beschreibt die Konkatenation \(e_1e_2\) die Sprache, welche aus allen Zeichenfolgen besteht, die man erhält, indem man eine Zeichenfolge aus \(L(e_1)\) direkt mit einer Zeichenfolge aus \(L(e_2)\) verbindet. Das Reverse einer Konkatenation zu nehmen, bedeutet, die Reihenfolge der Konkatenation umzudrehen, sodass \( (e_1e_2)^r = e_2^r e_1^r \). Dies zeigt, dass das Reverse der Konkatenation zweier regulärer Ausdrücke der Konkatenation ihrer Reversen in umgekehrter Reihenfolge entspricht.

3. Kleene-Stern: Für einen regulären Ausdruck \(e\), beschreibt \(e*\) die Sprache, die durch keine oder mehrere Konkatenationen von Zeichenfolgen aus \(L(e)\) gebildet wird. Das Reverse von \(e*\) ist somit der Kleene-Stern des Reversen von \(e\), d.h. \((e*)^r = (e^r)*\). Dies funktioniert, weil das Reverse von keiner oder mehreren Konkatenationen einfach keiner oder mehreren Konkatenationen der reversen Zeichenfolgen entspricht.

Zusammenfassung:
Die Operation des Reversens einer regulären Sprache \(L^r\) ist kompatibel mit den grundlegenden Operationen, die zur Definition regulärer Ausdrücke verwendet werden: Vereinigung, Konkatenation und Kleene-Stern. Dies unterstreicht die Flexibilität regulärer Ausdrücke und ihre Eignung zur Beschreibung regulärer Sprachen, einschließlich ihrer reversen Varianten.
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