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Aufgabe 2: Multiplikation mit Gattern:

a) Entwerfen Sie eine logische Schaltung, welche einen 4-Bit Multiplizierer realisiert. Benutzen Sie dafür Addierer und UND-Gatter.

b) Geben Sie die Größe und Tiefe der resultierenden Schaltung an.

b) Geben Sie die Größe und die Tiefe der resultierenden Schaltung an.

Größe: Anzahl der Gatter: Bei Multiplikation \( \left(a_{n-1}, \ldots, a_{0}\right) \cdot\left(b_{m-1}, \ldots, b_{0}\right) \) werden \( n \cdot m \) UNDGatter, \( n \cdot(m-1) \) Volladdierer benötigt.

Tiefe: Längster Pfad von Eingang \( b_{0} \) zum Ausgang \( y_{7} \) geht über \( 2 n \) Gatter (bei Rechnung eines Volladdierers als 1 Gatter).


Lösung:

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Ansatz/Problem:

Bitte erkläre die Lösung der Aufgaben. Wieso sind es 8 Gatter und nicht 9? Wieso zählt man das eine UND-Gatter nicht mit? Wieso werden nur die Volladdierer als 1 Gatter gezählt? Wie kommt man jetzt auf die Tiefe?

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Antwort mit KI erzeugt

Tiefe einer Schaltung angeben, Lösung

Um Ihre Fragen zu beantworten, gehen wir schrittweise durch die Aufgabenstellung und die Lösung.

Aufgabe a): Entwerfen einer logischen Schaltung für einen 4-Bit Multiplizierer mithilfe von Addierern und UND-Gattern.

Aufgabe b): Größe und Tiefe der resultierenden Schaltung angeben.

Größe der Schaltung:

Die Größe der Schaltung, die durch die Anzahl der Gatter bestimmt wird, wird wie folgt berechnet:

Für die Multiplikation zweier Zahlen \(a\) und \(b\) (mit den Bitlängen \(n\) und \(m\)), benötigt man \(n \cdot m\) UND-Gatter, um jede Kombination von Bits aus \(a\) und \(b\) zu multiplizieren. Darüber hinaus benötigt man \(n \cdot (m-1)\) Volladdierer, um die resultierenden Bitprodukte zu addieren (ohne den ersten Schritt, welcher lediglich das Weiterleiten des ersten Produkts von \(a_0 \cdot b\) beinhaltet).

In einer 4-Bit Multiplikation (\(n = m = 4\)) haben wir also \(4 \cdot 4 = 16\) UND-Gatter für die Bitmultiplikationen und \(4 \cdot (4-1) = 12\) Volladdierer für die Addition der Produkte.

Bei Ihrer Frage scheint es Verwirrung darüber zu geben, warum bestimmte Gatter nicht mitgezählt werden oder warum Volladdierer als ein Gatter gezählt werden. Die Betrachtung eines Volladdierers als ein Gatter in dieser spezifischen Aufgabe ist eine Vereinfachung zur Berechnung der Tiefe. Normalerweise, für die Größe, würde man alle Komponenten eines Volladdierer (typischerweise mehrere Logikgatter) zählen. Ohne spezifische Details könnte es ein Missverständnis darüber geben, wie die Größe und insbesondere die "8 Gatter" gemeint sind - es wirkt eher wie eine Vereinfachung oder ein Beispiel, als eine exakte Berechnung basierend auf dem gezeigten Schaltbild.

Tiefe der Schaltung:

Die Tiefe einer Schaltung wird durch den längsten Pfad von einem Eingang zu einem Ausgang gemessen, gemessen an der Anzahl der Gatter, durch die dieser Pfad verläuft.

Ein Volladdierer kann, für die Betrachtung der Tiefe, als ein Gattereinheit gezählt werden, um die Komplexität der Rechnung zu reduzieren. Dies ist eine Approximation, da ein Volladdierer in Wirklichkeit aus mehreren Gattern besteht. Die Angabe, dass der längste Pfad über \(2n\) Gatter bei der Rechnung eines Volladdierers als ein Gatter verläuft, ist eine Vereinfachung.

Für eine 4-Bit Multiplikation mit der oben beschriebenen Vereinfachung würde die Tiefe wie folgt berechnet:
- Jede Bitmultiplikation mit einem UND-Gatter zählt als ein Schritt.
- Die Addition der Produkte mithilfe der Volladdierer kann in mehreren Schritten erfolgen, wobei jeder Schritt einem Volladdierer entspricht.

Die genaue Tiefe hängt von der konkreten Implementierung der Schaltung ab. In einem vereinfachten Szenario, in dem jede Ebene von Volladdierern als eine Ebene gezählt wird, könnte die Tiefe der Schaltung für eine 4-Bit Multiplikation in etwa \(2 \cdot 4 = 8\) sein, wenn man vereinfacht annimmt, dass der längste Pfad durch 2 Schritte pro Bit geht (UND-Gatter plus eine Ebene der Addition). Jedoch müsste man ohne das spezifische Schaltbild und die Implementierung der Addition (z.B. Carry-Look-Ahead versus Ripple-Carry) die genaue Tiefe genauer analysieren.

Ohne eine klarere Darstellung der Schaltung im Detail und eine genauere Beschreibung, wie die "8 Gatter" gemeint sind, ist es schwierig, die Frage nach der genauen Rechnung zu den "8 Gattern" und die entsprechende Anzahl nicht mitgezählter Gatter vollständig zu beantworten. Die bereitgestellten Bilder konnten leider nicht eingesehen werden, was die exakte Analyse erschwert.
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