Vereinfachtes Integral das Gleichung erfüllt in Mathematica finden

Question

Aufgabe - Vereinfachtes Integral das Gleichung erfüllt in Mathematica finden:

Betrachten Sie die Funktion \( f(x)=\sin (n \ln (x)) \), wobei \( n \in \mathbb{N} \backslash\{0\} \), mit der zugehorigen stammfunktion
\( F(x):=\int f(x) \mathrm{d} x \)

Finden Sie g(x) so dass

\( F(x)=-\frac{x}{n} \cos (n \ln (x))+\int g(x) \mathrm{d} x . \)

A) \( g(x)=\frac{1}{n} \tan (n \ln (x)) \)
B) \( g(x)=\frac{1}{n} \sin \left(-\frac{x}{2}-n \ln (x)\right) \)
C) \( g(x)=n \cos \left(\frac{x}{2}-\frac{1}{n+1} \ln (x)\right) \)
D) \( g(x)=n \sin \left(\frac{1}{n+1} \ln (x)\right) \)
E) \( g(x)-\frac{1}{n} \cos (n \ln (x)) \)

und möchte diese mit der Programmiersprache Wolfram Language / Mathematica lösen.

Code:

f = Sin[n*Log[x]];
bigF = Integrate[f, x];

sol = g /. Solve[-x/n *Cos[n*Log[x]] + Integrate[g, x] == bigF, g]

(*Antwortmöglichkeiten*)
g1 = 1/n * Tan[n*Log[x]];
g2 = 1/n * Sin[-Pi/2 - 1/(n + 1) *Log[x]];
g3 = n*Cos[Pi/2 - 1/(n + 1) * Log[x]];
g4 = n*Sin[(1/n + 1) * Log[x]];
g5 = 1/n * Cos[n*Log[x]];
If[TrueQ[FullSimplify[Simplify[sol == g1]]], 1, 0]
If[TrueQ[FullSimplify[Simplify[sol == g2]]], 1, 0]
If[TrueQ[FullSimplify[Simplify[sol == g3]]], 1, 0]
If[TrueQ[FullSimplify[Simplify[sol == g4]]], 1, 0]
If[TrueQ[FullSimplify[Simplify[sol == g5]]], 1, 0]

Nun habe ich als Output nur 0 und false, was nicht sein kann. Was mache ich falsch?

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Vereinfachtes Integral das Gleichung erfüllt in Mathematica finden

Zunächst ist wichtig zu verstehen, wie die Gleichung und die gegebenen Antwortmöglichkeiten in Mathematica umgesetzt werden können. Die von Ihnen abgeleitete Gleichung und die Möglichkeiten zur Definition von \( g(x) \) sind korrekt formuliert. Es scheint, dass das Problem in der Art und Weise liegt, wie Sie versucht haben, die Gleichheit der Funktionen zu überprüfen.

Lassen Sie uns den Prozess aufbrechen und schrittweise durchgehen, um die korrekte Antwort zu finden.

Schritt 1: Stamfunktion \( F(x) \) von \( f(x) \) in Mathematica berechnen

Zuerst berechnen wir die Integral \( F(x) \) von \( f(x) = \sin(n \ln(x)) \).

mathematica
f = Sin[n*Log[x]];
bigF = Integrate[f, x];

Das Integral, bigF, wurde damit in Mathematica korrekt definiert.

Schritt 2: Gleichung umformulieren

Als nächstes müssen wir überprüfen, ob \( F(x) \) zu einer der gegebenen Optionen passt, wenn dieses Integral als
\( F(x) = -\frac{x}{n}\cos(n\ln(x)) + \int g(x) \, dx \)
ausgedrückt wird. Dazu müssen wir \( g(x) \) finden und überprüfen, welches \( g(x) \) tatsächlich die Bedingung erfüllt.

Schritt 3: Überprüfung der Antwortmöglichkeiten

Die Überprüfung der Antwortmöglichkeiten sollten wir etwas anders angehen, als Sie ursprünglich getan haben. Hier ist der richtige Ansatz dafür:

1. Für jede Antwortmöglichkeit \( g(x) \) berechnen wir das unbestimmte Integral.
2. Wir vereinfachen die Differenz zwischen \( F(x) \) und der berechneten Form \( -\frac{x}{n} \cos(n \ln(x)) + \int g(x) \, dx \).
3. Wir überprüfen, ob diese Differenz gleich 0 ist, was bedeuten würde, dass \( g(x) \) die Bedingung erfüllt.

Schritt 4: Korrigierter Mathematica Code

Der folgende Mathematica Code implementiert den korrekten Ansatz:

mathematica
f = Sin[n*Log[x]];
bigF = Integrate[f, x];
(* Antwortmöglichkeiten *)
g1 = 1/n * Tan[n*Log[x]];
g2 = 1/n * Sin[-x/2 - n*Log[x]];
g3 = n*Cos[x/2 - 1/(n + 1)*Log[x]];
g4 = n*Sin[1/(n + 1)*Log[x]];
g5 = 1/n * Cos[n*Log[x]];

(* Überprüfung für jede Möglichkeit *)
checkOption[g_] := Simplify[bigF == -x/n*Cos[n*Log[x]] + Integrate[g, x]];

(* Ergebnis für jede Antwortmöglichkeit *)
results = checkOption /@ {g1, g2, g3, g4, g5}

Beachten Sie, dass ich eine Hilfsfunktion checkOption definiert habe, um den Prozess zu vereinfachen. checkOption nimmt eine Funktion \( g \) als Argument und überprüft, ob sie die gegebene Bedingung erfüllt. Dann wende ich diese Funktion auf jede Ihrer Antwortmöglichkeiten mit der Map-Funktion /@ an, um zu sehen, welche davon True zurückgibt.

Bitte beachten Sie, dass im Originalcode und Ihrer Beschreibung ein Fehler bei den Antwortmöglichkeiten vorliegen könnte, da z.B. g2 und g3 Komponenten mit unklarer Herkunft enthalten (-Pi/2, Pi/2, -1/(n + 1) * Log[x] ohne direkten Bezug zur Originalfunktion). Deshalb habe ich mit den von Ihnen bereitgestellten Definitionen fortgefahren. Achten Sie darauf, jede Option sorgfältig zu prüfen und nötigenfalls anzupassen, um den exakten Kontext Ihrer Fragestellung widerzuspiegeln.