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Aufgabe:

Zeigen Sie das k-Clique für festes k in P.


Ansatz:

Im ungerichteten Graphen G gibt es n Knoten, ein naiver Algorithmus müsste $$n\choose k$$ mögliche Lösungen prüfen. Unter der Annahme das n ≥ k, eine Clique größer als der Graph würde sofort terminieren, ist kann ich folgendes verwenden.

$${n \choose k}=\frac{n!}{k!+(n-k!)}$$

Woraus resultiert:

$${n \choose k}=\frac{n*(n-1)*(n-2)*...*(n-k)!}{k!+(n-k)!}$$

Durch kürzen müsste dafür resultieren:

$${n \choose k}=\frac{n*(n-1)*(n-2)*...*(n-(k-1))}{k!}$$

Da durch festes k im Nenner eh eine feste Zahl steht, kann ich jetzt nur den Zähler betrachten, der ausmultipliziert zu einem Polynom wird. Also ist die Laufzeit in diesem Fall \(\mathcal{O}(n^{n-1})\)


Ist das so korrekt?

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Upps, da ist mir glaube ich ein Fehler unterlaufen.

Die Laufzeit ist ja nicht \(\mathcal{O}(n^{n-1})\) sondern \(n^{k}\)

Ah, beim binominalkoeffizient hat sich auch ein Fehler eingeschlichen. Es müsste

\({n \choose k}=\frac{n*(n-1)*(n-2)*...*(n-k)!}{k!(n-k)!}\)

sein

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Antwort mit KI erzeugt

Antwort:

Es gibt einige Unstimmigkeiten und Fehlstellen in deinem Ansatz, die korrigiert werden sollten:

- Zunächst einmal ist die Formel für \({n \choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\), und nicht \(\frac{n!}{k!+(n-k!)}\), wie du geschrieben hast. Das Pluszeichen in deinem Nenner sollte ein Multiplikationszeichen sein.

- Des Weiteren ist das Ziel deines Ansatzes, zu zeigen, dass das Problem der Bestimmung einer \(k\)-Clique in einem Graphen (für ein festes \(k\)) in Polynomialzeit lösbar ist (\(P\)), und nicht, dass die Laufzeit \(\mathcal{O}(n^{n-1})\) beträgt. Deine Schlussfolgerung bezüglich der Laufzeit \(\mathcal{O}(n^{n-1})\) ist nicht korrekt und wohl ein Tippfehler oder Missverständnis.

Um deine Aussage zu berichtigen und zu komplettieren:

1. Korrektur der Binomialkoeffizienten-Formel:

\(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)

Dies beschreibt die Anzahl der Möglichkeiten, \(k\) Objekte aus einer Menge von \(n\) Objekten ohne Wiederholung und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge auszuwählen.

2. Analyse der Laufzeit:

Für ein festes \(k\), wenn wir nach einer \(k\)-Clique in einem Graphen mit \(n\) Knoten suchen, ist die Anzahl der zu überprüfenden Kombinationen von Knoten gleich \(\binom{n}{k}\). Da \(k\) fest ist, können wir die Komplexität dieser Operation betrachten als:

\(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1)}{k!}\)

Die Laufzeit dieses Schritts ist abhängig von der Anzahl der Knotenkombinationen, die auf eine Clique überprüft werden müssen. Da \(k!\) eine Konstante ist (weil \(k\) fest ist), ist der dominierende Faktor in dieser Formel \(n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1)\), welches ein Polynom vom Grad \(k\) in \(n\) ist. Die Überprüfung, ob eine gegebene Knotenkombination eine Clique bildet, kann in \(O(k^2)\) Zeit erfolgen, indem man prüft, ob alle \(k(k-1)/2\) Kanten zwischen den \(k\) Knoten im Graph existieren.

Zusammengefasst ergibt sich, dass für ein festes \(k\), die Überprüfung, ob eine \(k\)-Clique in einem Graphen existiert, in \(O(n^k)\) Zeit erfolgen kann, was eine polynomielle Zeit in Bezug auf \(n\) ist, weil \(k\) fest ist. Daher ist das Problem der \(k\)-Clique für festes \(k\) in \(P\).

Fazit:

Ja, der Ansatz zeigt, dass das \(k\)-Clique Problem für ein festes \(k\) in der Komplexitätsklasse \(P\) liegt, weil die Laufzeit zur Überprüfung des Problems polynomiell mit der Größe des Graphen (gemessen an der Anzahl der Knoten \(n\)) skaliert, wenn \(k\) als Konstante betrachtet wird. Du sollst allerdings die korrekte Formel verwenden und klarstellen, dass die Laufzeit polynomiell ist und nicht \(\mathcal{O}(n^{n-1})\).
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