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Aufgabe:

Zeigen Sie mit dem Pumping-Lemma für kontextfreie Sprachen, dass die folgende Sprache nicht kontextfrei ist.
L_1 = {a^i $a^j $a^k | i,j,k ∈ N₀, i < j < k}

($ ist ein Terminalsymbol)

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Pumping-Lemma für kontextfreie Sprachen

Bevor wir das Pumping-Lemma anwenden, fassen wir kurz dessen Kernaussage zusammen. Das Pumping-Lemma für kontextfreie Sprachen besagt:

Sei \(L\) eine kontextfreie Sprache. Dann gibt es eine Konstante \(p\) (Pumping-Länge), sodass jedes Wort \(w \in L\) mit \(|w| \geq p\) in fünf Teile \(w = uvwxy\) zerlegt werden kann, sodass:
1. \(|vwx| \leq p\),
2. \(|vx| \geq 1\), und
3. \(uv^nwx^ny \in L\) für alle \(n \geq 0\).

Beweis, dass \(L_1\) nicht kontextfrei ist:

Gegeben ist \(L_1 = \{a^i\; \text{\$}\; a^j\; \text{\$}\; a^k \mid i, j, k \in \mathbb{N}_0, i < j < k\}\).

Wir verwenden das Pumping-Lemma für kontextfreie Sprachen, um zu zeigen, dass \(L_1\) nicht kontextfrei ist.

Nehmen wir an, \(L_1\) sei kontextfrei. Dann existiert eine Pumping-Länge \(p\).

1. Wort wählen: Wähle ein Wort \(w \in L_1\) mit \(|w| \geq p\):
\( w = a^{p+1} \; \text{\$} \; a^{p+2} \; \text{\$} \; a^{p+3} \)
Hier haben wir \(i = p+1\), \(j = p+2\), und \(k = p+3\), was \(i < j < k\) erfüllt und sicherstellt, dass \(|w| = 3p + 6 \geq p\).

2. Zerlegung \(w = uvwxy\): Laut Pumping-Lemma können wir \(w\) in \(uvwxy\) zerlegen, wobei:
- \(|vwx| \leq p\)
- \(|vx| \geq 1\)
- \(uv^nwx^ny \in L\) für alle \(n \geq 0\)

3. Eigenschaften überprüfen:
Da \(|vwx| \leq p\), muss \(vwx\) vollständig im ersten Block \(a^{p+1}\) oder im zweiten Block \(a^{p+2}\) liegen oder über den Übergang \(\text{\$}\) im ersten Block oder im zweiten \(\text{\$}\) liegen.

Fall 1: \(vwx\) liegt vollständig im ersten Block \(a^{p+1}\). Das bedeutet, dass beim Pumpen nur der erste Block betrifft, während die Anzahl der \(a\) im zweiten und dritten Block unverändert bleibt.
Wählen wir \(n = 0\), wird der erste Block von \(a^{p+1}\) zu \(a^{p+1-|vx|}\). Daraus resultiert ein Wort:
\( u v^0 w x^0 y = a^{p+1-|vx|} \; \text{\$} \; a^{p+2} \; \text{\$} \; a^{p+3} \)
Das resultierende Wort gehört nicht mehr zu \(L_1\), da \(i \geq j\).

Fall 2: \(vwx\) überquert den ersten \(\text{\$}\) oder liegt vollständig im zweiten Block \(a^{p+2}\). Das bedeutet, dass nicht beide Grenzen eingehalten werden, wenn nur ein Teil der Sequenz sich ändert:
- Wenn \(vwx\) $ die Stelle der ersten \(\text{\$}\) bezieht, beeinflusst Pumpen somit nur den ersten und zweiten Block:
\( u v^0 w x^0 y = a^{p+1} \; \text{\$} \; a^{p+2-|vx|} \; \text{\$} \; a^{p+3} \)
Dies jedoch lässt \(i \lt j\) nicht mehr korrekt entstehen.

Fall 3: \(vwx\) liegt im zweiten \(\text{\$}\):
Es gibt:
\( u v^0 w x^0 y = a^{p+1} \; \text{\$} \; a^{p+2} \; \text{\$} \; a^{p+3-|vx|} \)
Sodass \(j \lt k\) nicht mehr korrekt ist.

Da in allen Szenarien mindestens eine Bedingung für \(i < j < k\) verletzt wird, wenn wir \(uv^nwx^ny \in L\) Fordern aber am spezifischen Beispiel zeigen, dass es nicht gilt:

Conclusio: Dadurch, dass keines der Zerlegungen gemäß des Pumping-Lemma \(L_1 \in L\) in allen Fällen Produkte liefert, dass \(L_1\) kontextfrei ist. Als Konsequenzen ist L_1 keine kontextfreie Sprache.
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