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Frage:

Reguläre Grammatik \( \rightarrow \) NFA

Betrachten Sie die Grammatik \( G=(\Sigma, N, S, P) \) mit \( \Sigma=\{a, b\}, N=\{S, A, B\} \) und

\( \begin{aligned} P=\{S& \rightarrow a S|b S| b \mid b A, \\ A & \rightarrow a B \mid b B \\ B &\rightarrow a B \mid b B\} \end{aligned} \)

(a) Geben Sie zu der Grammatik \( G \) formal (nicht als Zustandsgraph) den NFA \( M \) an, welcher durch Verwendung des Verfahrens aus dem Beweis zu Satz \( 2.16 \) des Skripts entsteht.

(b) Geben Sie die Sprache \( L(G) \) formal als Menge von Wörtern an, ohne weiteren Bezug auf \( G \) zu nehmen.

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Reguläre Grammatik \( \rightarrow \) NFA

Um von einer regulären Grammatik \(G = (\Sigma, N, S, P)\) zu einem Nichtdeterministischen Endlichen Automaten (NFA) zu kommen, folgen wir dem Verfahren, das in Satz 2.16 des Skripts beschrieben ist. Dieses Verfahren verwendet die Produktionsregeln der Grammatik, um die Zustände und Übergänge des Automaten zu definieren.

Geg: \(G = (\{a, b\}, \{S, A, B\}, S, P)\) mit

\(P = \{S \rightarrow aS | bS | b | bA, A \rightarrow aB | bB, B \rightarrow aB | bB\}\)

(a) NFA \(M\) für Grammatik \(G\)

Um den NFA \(M = (Q, \Sigma, \delta, q_0, F)\) zu definieren, folgen wir diesen Schritten:

1. Die Zustände (\(Q\)) des NFAs entsprechen den Nichtterminalen der Grammatik zuzüglich eines zusätzlichen Endzustands. Also, \(Q = \{S, A, B, F\}\).

2. Das Eingabealphabet (\(\Sigma\)) ist das gleiche wie das der Grammatik, also \(\{a, b\}\).

3. Der Startzustand (\(q_0\)) entspricht dem Startsymbol der Grammatik, also \(S\).

4. Die akzeptierenden Zustände (\(F\)) enthalten den zusätzlichen Endzustand und jedes Nichtterminal, von dem aus ein Wort direkt produziert werden kann, das zum leeren Wort führt (hier nicht der Fall, da kein \(\epsilon\) in der Produktion), also \(F = \{F\}\).

5. Die Übergangsfunktion (\(\delta\)) wird basierend auf den Produktionsregeln definiert. Die Regel \(S \rightarrow aS\) bedeutet zum Beispiel, dass unter Eingabe \(a\) vom Zustand \(S\) zu \(S\) gewechselt wird. Ebenso führen \(S \rightarrow bS\) und \(S \rightarrow b\) zu Übergängen unter Eingabe \(b\) von \(S\) zu \(S\) und von \(S\) zu \(F\), entsprechend. Das gleiche Verfahren wenden wir auf die Restlichen Produktionen an.

Zusammenfassend sieht der NFA so aus:

- \(Q = \{S, A, B, F\}\)
- \(\Sigma = \{a, b\}\)
- \(q_0 = S\)
- \(F = \{F\}\)
- \(\delta\) enthält die folgenden Übergänge:
- \(S, a \rightarrow S\)
- \(S, b \rightarrow S\) und \(S, b \rightarrow F\)
- \(S, b \rightarrow A\)
- \(A, a \rightarrow B\) und \(A, b \rightarrow B\)
- \(B, a \rightarrow B\) und \(B, b \rightarrow B\)

Beachte: Da diese Beschreibung nicht das exakte Format eines NFA darstellt, sondern das Verständnis des Prozesses demonstriert, ist eine formale Definition des Übergangsfunktion \(\delta\) eine Menge aller spezifizierten Übergänge entsprechend den Regeln.

(b) Sprache \(L(G)\) formal als Menge

Auf Basis der Produktionsregeln erzeugt die Grammatik \(G\) die Sprache \(L(G)\), die aus allen Wörtern besteht, die mit einem \(a\) oder \(b\) beginnen können, gefolgt von einer beliebigen Anzahl von Kombinationen von \(a\) und \(b\), mit der Möglichkeit auf ein \(b\) zu enden. Dies lässt sich zusammenfassen als alle Wörter über \(\{a,b\}\) die mindestens ein \(b\) enthalten.

Daher ist die Sprache \(L(G)\) formal definiert als:

\( L(G) = \{b(a|b)^*, baB(a|b)^*, bbB(a|b)^* \} \)

Die abstrakte Definition der Sprache \(L(G)\) zeigt auf, dass\(L(G)\) aus Wörtern besteht, die mindestens ein \(b\) enthalten, wobei \(B\) erzeugte Wörter repräsentiert, die mit jedem \(a\) oder \(b\) beginnen und beliebig fortgesetzt werden können.
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