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Aufgabe Chomsky-Hierarchie:

Geben Sie für folgende Sprachen jeweils (i) eine Grammatik \( G_{i} \) mit \( L\left(G_{i}\right)=L_{i}, 1 \leq i \leq \) 3 und möglichst großem Typ an und (ii) geben Sie explizit den maximalen Typ Ihrer Grammatik an.

Begründen Sie Ihre Antworten, insbesondere, warum Ihre Grammatik von keinem größeren Typ ist.

(a) \( L_{1}=\left\{a^{n} b^{m} \mid n, m \geq 2\right\} \subseteq\{a, b\}^{*} \)

(b) \( L_{2}=\left\{a b a^{n+2} b a \mid n \geq 1\right\} \subseteq\{a, b\}^{*} \)

(c) \( L_{3}=\left\{0^{2 n} 110(01)^{n} \mid n \geq 0\right\} \subseteq\{0,1\}^{*} \)

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Aufgabe Chomsky-Hierarchie

Um die Aufgabe zu lösen, erinnern wir uns zuerst an die Chomsky-Hierarchie. Die Chomsky-Hierarchie klassifiziert formale Grammatiken in vier Typen basierend auf ihren Generierungsmöglichkeiten:

- Typ-0 (Rekursiv aufzählbare Sprachen): Grammatiken mit keiner Einschränkung.
- Typ-1 (Kontextsensitive Sprachen): Produktionen sind in der Form \(\alpha A \beta \rightarrow \alpha \gamma \beta\), wobei \(|\gamma| \geq |\alpha A \beta|\).
- Typ-2 (Kontextfreie Sprachen): Produktionen haben die Form \(A \rightarrow \gamma\), d.h., auf der linken Seite steht genau ein Nichtterminal.
- Typ-3 (Reguläre Sprachen): Produktionen haben die Form \(A \rightarrow aB\) oder \(A \rightarrow a\), dabei sind Konkatenationen von Nichtterminalen auf der rechten Seite nicht erlaubt.

a) \(L_{1}\)

(i) Grammatik \(G_{1}\) Typ-2 (Kontextfrei)

Eine mögliche Grammatik für \(L_{1}=\{a^{n}b^{m} \mid n, m \geq 2\}\) ist:

- \(S \rightarrow aSb\)
- \(S \rightarrow aaBbb\)
- \(B \rightarrow aBb\)
- \(B \rightarrow \varepsilon\)

(ii) Maximaler Typ

Die maximale Typ unserer Grammatik ist Typ-2 (Kontextfrei), da die Sprache nicht von einem regulären Ausdruck erfasst werden kann (sie benötigt eine Art von "Speicher", um die Anzahl von \(a\)s und \(b\)s unabhängig zu zählen), aber durch Regeln mit nur einem Nichtterminal auf der linken Seite erzeugt werden kann.

b) \(L_{2}\)

(i) Grammatik \(G_{2}\) Typ-3 (Regulär)

Eine mögliche Grammatik für \(L_{2}=\{ab a^{n+2} ba \mid n \geq 1\}\) ist:

- \(S \rightarrow abaAba\)
- \(A \rightarrow aA\)
- \(A \rightarrow a\)

Diese Sprache kann durch eine reguläre Grammatik erzeugt werden, weil wir einfach Anfang und Ende feststellen können und eine feste Zahl von \(a\)s in der Mitte zulassen.

(ii) Maximaler Typ

Die maximale Typ unserer Grammatik ist Typ-3 (Regulär), weil die Sprache durch eine reguläre Grammatik mit einer deterministischen endlichen Automatendarstellung erfasst werden kann.

c) \(L_{3}\)

(i) Grammatik \(G_{3}\) Typ-1 (Kontextsensitiv)

Eine mögliche Grammatik für \(L_{3}=\{0^{2n}110(01)^{n} \mid n \geq 0\}\) ist komplexer und würde kontextsensitive Regeln benötigen, um die Anzahl der \(0\)s am Anfang genau zu verdoppeln und dann \(110(01)^n\) zu folgen. Eine explizite konstruierte Grammatik ist nicht trivial und würde die Fähigkeit erfordern, die Sequenz von \(0\)s zu "zählen" und entsprechend zu reproduzieren, was kontextsensitive Mechanismen erfordert.

(ii) Maximaler Typ

Die maximale Typ unserer Grammatik ist Typ-1 (Kontextsensitiv). Dies liegt daran, dass die Struktur von \(L_{3}\) eng mit der Anzahl der Symbole verbunden ist und eine kontextsensitive Eigenschaft aufweist: Die Verdopplung von \(0\)s am Anfang und das folgende Muster von \(110(01)^n\) können nicht durch kontextfreie oder reguläre Grammatiken erfasst werden, da sie eine spezifische Beziehung zwischen verschiedenen Teilen der Zeichenketten erfordert.
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