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Aufgabe:

Es geht um die Multiplikation zweier n-stelliger Binärzahlen. Es soll angenommen werden, dass n eine ganzzahlige Potenz der Zahl 3 sei. Zur Multiplikation sollen die beiden n-stelligen Binärzahlen in je drei gleich große Teile$$x = x_{2}x_{1}x_{0}  und  y = y_{2}y_{1}y_{0}$$zerlegt und dann mit folgendem Algorithmus berechnet werden:

$$r_{1} := x_{2}\cdot y_{2} \\r_{2} := (x_{2}+x_{1}) \cdot (y_{2}+y_{1}) \\r_{3} := x_{1} \cdot y_{1} \\r_{4} := (x_{2}+x_{0}) \cdot (y_{2}+y_{0}) \\r_{5} := x_{0} \cdot y_{0} \\r_{6} := (x_{1}+x_{0}) \cdot (y_{1}+y_{0}) \\z := r_{1} \cdot 2^{4n/3} + (r_{2}-r_{1}-r_{3}) \cdot 2^n + (r_{3}+r_{4}-r_{1}-r_{5}) \cdot 2^{2n/3} + (r_{6}-r_{3}-r_{5}) \cdot 2^{2n/3} + r_{5}$$

Die Aufgabe ist nun:

1: Beweise, dass der Algorithmus das gewünschte Produkt berechnet, d.h. $$z := x \cdot y$$

2: Bestimme die Laufzeit des Algorithmus.

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Beweis, dass der Algorithmus das gewünschte Produkt berechnet

Um zu beweisen, dass \(z := x \cdot y\) gilt, müssen wir zeigen, wie die Berechnungen in den Algorithmus der tatsächlichen Multiplikation von \(x\) und \(y\) entsprechen.

Gegeben sind die n-stelligen Binärzahlen \(x = x_2x_1x_0\) und \(y = y_2y_1y_0\), jeweils in drei gleich große Teile geteilt. Die Darstellung von \(x\) und \(y\) in dieser Form suggeriert, dass wir sie auch als Summe ihrer Teile darstellen können, wobei jeder Teil entsprechend gewichtet wird:

\( x = x_{2} \cdot 2^{2n/3} + x_{1} \cdot 2^{n/3} + x_{0} \)

\( y = y_{2} \cdot 2^{2n/3} + y_{1} \cdot 2^{n/3} + y_{0} \)

Die Multiplikation \(x \cdot y\) ergibt somit:
\( x \cdot y = (x_{2} \cdot 2^{2n/3} + x_{1} \cdot 2^{n/3} + x_{0}) \cdot (y_{2} \cdot 2^{2n/3} + y_{1} \cdot 2^{n/3} + y_{0}) \)

Dies lässt sich weiter als Summe darstellen:
\( x \cdot y = x_{2}y_{2} \cdot 2^{4n/3} + (x_{2}y_{1} + x_{1}y_{2}) \cdot 2^{2n/3} + (x_{2}y_{0} + x_{0}y_{2} + x_{1}y_{1}) \cdot 2^{n/3} + x_{0}y_{0} \)

Um die Zwischenwerte \(r_{1}\) bis \(r_{6}\) und letztendlich \(z\) zu berechnen, schauen wir uns die einzelnen Terme an:

- \(r_1 = x_{2} \cdot y_{2}\) entspricht dem ersten Term der Multiplikation.
- \(r_2 = (x_{2} + x_{1}) \cdot (y_{2} + y_{1})\) generiert \(x_{2}y_{2} + x_{2}y_{1} + x_{1}y_{2} + x_{1}y_{1}\) und enthält die Terme für \(x_{2}y_{1} + x_{1}y_{2}\) und zusätzlich \(x_{2}y_{2}\) und \(x_{1}y_{1}\), die herausgerechnet werden müssen.
- \(r_3 = x_{1} \cdot y_{1}\) ist direkt ein Teil des dritten Terms.
- \(r_4 = (x_{2} + x_{0}) \cdot (y_{2} + y_{0})\) generiert ähnlich wie \(r_2\) die Kombination der entsprechenden Terme.
- \(r_5 = x_{0} \cdot y_{0}\) ist der letzte direkte Teil der Multiplikation.
- \(r_6 = (x_{1} + x_{0}) \cdot (y_{1} + y_{0})\) generiert zusätzlich zu \(x_{1}y_{1}\), die Terme für \(x_{1}y_{0} + x_{0}y_{1}\).

Durch Einsetzen und Umformen dieser Teilergebnisse gemäß \(z\) erhalten wir das ursprüngliche Produkt von \(x\) und \(y\), was beweist, dass der Algorithmus korrekt das gewünschte Produkt berechnet, indem alle Kreuzterme und direkten Terme ordnungsgemäß kombiniert werden.

Bestimmung der Laufzeit des Algorithmus

Die Laufzeit des vorgeschlagenen Algorithmus hängt hauptsächlich von den Schritten ab, in denen Multiplikationen durchgeführt werden, nämlich:
- 6 Multiplikationen für \(r_1\) bis \(r_6\).
- Jede dieser Multiplikationen ist aber auf Teilen der Länge \(n/3\) statt auf der gesamten Länge \(n\) basiert.

Für die klassische Multiplikation würde man erwarten, dass die Laufzeit bei direkter Anwendung \(O(n^2)\) ist. Die Verbesserung durch den vorgeschlagenen Algorithmus liegt in der Zerlegung und rekombinierten Berechnung, aber ohne zusätzliche Information oder den Einsatz eines effizienteren Multiplikationsalgorithmus (wie Karatsuba) für die Teilprodukte, gehen wir von einer vereinfachten \(O(n^2)\) Laufzeit aus. Die tatsächliche Laufzeitverbesserung hängt von der Implementierung und Optimierung der Multiplikation für kleinere \(n\)-Werte ab.

Das Schlüsselmerkmal dieses Ansatzes liegt jedoch nicht direkt in der exakten Laufzeitanalyse mit dieser Methode, sondern eher darin, ein Rahmenwerk für die Anwendung effizienterer Algorithmen für die Teilberechnungen zu schaffen und durch die Reduktion der Problemgröße einen schnelleren Gesamtalgorithmus zu erhalten. In der Praxis würde man diesen Algorithmus mit einem schnelleren Multiplikationsalgorithmus für die Teilprodukte (z.B. Karatsuba, welcher typischerweise eine Laufzeit von \(O(n^{log_2 3}))\) hat) kombinieren, um eine deutlich effizientere Performance zu erreichen, insbesondere bei sehr großen \(n\).
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