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Hallo Leute, ich bräuchte bei folgender Aufgabe bitte mal eure Hilfe:

Stellen Sie die Dezimalzahl 1.9 unter Verwendung des unsymmetrischen Rundens
(Abbrechen) durch die zugehörige Maschinenzahl aus R( β,t,L,U )  dar, mit β = 2 , t = 6
L = 20 und U = 20 . Bestimmen Sie den relativen Fehler und vergleichen Sie ihn mit der
theoretischen Abschätzung (relative Maschinengenauigkeit).


Vielen Dank im Voraus!

von

Das ist eine Informatikfrage. Die Antwort findest Du bei der Uni Jena:

https://users.fmi.uni-jena.de/~kaiserd/eleM21/Loesung_Serie2_ag5_2021.pdf

1 Antwort

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Hallo Gustavo,

zu der Schreibweise \(R(\beta,t,L,U)\) ist im Internet praktisch nichts zu finden. Sie entstammt anscheinend aus dem Buch "Nummerische Mathematik" von Martin Hermann (ISBN: 3110656655, EAN: 9783110656657). Die Gleitpunktzahl (Maschinenzahl) \(x_M\) wird dort dargestellt als$$x_M = \pm \left( \sum\limits_{j=1}^t \frac{x_j}{\beta^{j}}\right) \cdot \beta^{e}, \quad 0 \le x_j \lt \beta, \space -L \le e \le U$$D.h. \(\beta\) ist die Basis der Maschinenzahl, \(t\) ist die Anzahl der Ziffern der Mantisse und das geschlossenen Intervall \([-L;\,U]\) ist der Bereich, in dem sich der Exponent \(e\) befinden kann.

Da die Basis \(\beta=2\) ist, müssen wir \(x\) zunächst in eine Binärzahl umwandeln. Herr Kaiser benutzt dazu folgende Tabelle$$\begin{array}{c|rrrr}j& x& 2^{1-j}& bit\\ \hline1& 1.9& 1& 1\\ 2& 0.9& 0.5& 1\\ 3& 0.4& 0.25& 1\\ 4& 0.15& 0.125& 1\\ 5& 0.025& 0.0625& 0\\ 6& 0.025& 0.03125& 0\\ 7& {\color{red}0.025}& 0.015625& 1\end{array}$$(kann man sehr schön mit einem Tabellenkalkulationsprogramm erzeugen!)

auf \(t=6\) (Binär-)Stellen genau ist dann $$x =1,9 \approx x_M = 0,111100_2 \cdot 2^1$$Wenn Du dazu Fragen hast, so melde Dich bitte. Das 'unsymmetrischen Runden' besteht wohl darin, den Rest einfach zu ignorieren. Und der absolute Fehler \(\delta_x\) steht in der letzten Zeile (bei \(j=7\)) woraus sich dann auch der relative Fehler \(\epsilon_x\) berechnen lässt:$$\epsilon_x = \frac{\delta_x}{|x|} = \frac{0,025}{1,9} \approx 0,013$$Gruß Werner

von

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