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Hallo Leute, ich bräuchte bei folgender Aufgabe bitte mal eure Hilfe:

Stellen Sie die Dezimalzahl 1.9 unter Verwendung des unsymmetrischen Rundens
(Abbrechen) durch die zugehörige Maschinenzahl aus R( β,t,L,U )  dar, mit β = 2 , t = 6
L = 20 und U = 20 . Bestimmen Sie den relativen Fehler und vergleichen Sie ihn mit der
theoretischen Abschätzung (relative Maschinengenauigkeit).


Vielen Dank im Voraus!

von

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Hallo Gustavo,

zu der Schreibweise \(R(\beta,t,L,U)\) ist im Internet praktisch nichts zu finden. Sie entstammt anscheinend aus dem Buch "Nummerische Mathematik" von Martin Hermann (ISBN: 3110656655, EAN: 9783110656657). Die Gleitpunktzahl (Maschinenzahl) \(x_M\) wird dort dargestellt als$$x_M = \pm \left( \sum\limits_{j=1}^t \frac{x_j}{\beta^{j}}\right) \cdot \beta^{e}, \quad 0 \le x_j \lt \beta, \space -L \le e \le U$$D.h. \(\beta\) ist die Basis der Maschinenzahl, \(t\) ist die Anzahl der Ziffern der Mantisse und das geschlossenen Intervall \([-L;\,U]\) ist der Bereich, in dem sich der Exponent \(e\) befinden kann.

Da die Basis \(\beta=2\) ist, müssen wir \(x\) zunächst in eine Binärzahl umwandeln. Herr Kaiser benutzt dazu folgende Tabelle$$\begin{array}{c|rrrr}j& x& 2^{1-j}& bit\\ \hline1& 1.9& 1& 1\\ 2& 0.9& 0.5& 1\\ 3& 0.4& 0.25& 1\\ 4& 0.15& 0.125& 1\\ 5& 0.025& 0.0625& 0\\ 6& 0.025& 0.03125& 0\\ 7& {\color{red}0.025}& 0.015625& 1\end{array}$$(kann man sehr schön mit einem Tabellenkalkulationsprogramm erzeugen!)

auf \(t=6\) (Binär-)Stellen genau ist dann $$x =1,9 \approx x_M = 0,111100_2 \cdot 2^1$$Wenn Du dazu Fragen hast, so melde Dich bitte. Das 'unsymmetrischen Runden' besteht wohl darin, den Rest einfach zu ignorieren. Und der absolute Fehler \(\delta_x\) steht in der letzten Zeile (bei \(j=7\)) woraus sich dann auch der relative Fehler \(\epsilon_x\) berechnen lässt:$$\epsilon_x = \frac{\delta_x}{|x|} = \frac{0,025}{1,9} \approx 0,013$$Gruß Werner

von

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