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Aufgabe Zahldarstellung und Rundungsfehler:

Betrachten Sie die Menge der Maschinenzahlen M(10, 5, 2) und die Dezimalzahlen x = 2.5413 und y = 10.5391.

i) Stellen Sie die Zahlen x und y als Elemente von M(10, 5, 2) dar.

ii) Berechnen Sie die folgenden Werte:

a) a = fl(x) + fl(y)
b) b =fl(y)/fl(x)
c) c = fl(y) − fl(4 · x)

Stellen Sie die Ergebnisse als Elemente von M(10, 5, 2) dar.

iii) Folgern Sie aus i) und ii), ob es sich bei der Menge M(10, 5, 2) um einen Körper handelt oder nicht.

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Antwort mit KI erzeugt

i) Darstellung der Zahlen x und y als Elemente von M(10, 5, 2)

Zuerst müssen wir klären, was mit M(10, 5, 2) gemeint ist. M(b, t, e) ist eine Menge von Maschinenzahlen, wobei:

- \(b\) die Basis ist (hier 10 für Dezimalsystem),
- \(t\) die Anzahl der signifikanten Stellen (hier 5) und
- \(e\) die Anzahl der Stellen im Exponent (hier 2), was bedeutet, dass der Exponent zwischen \(-99\) und \(+99\) variieren kann.

Die allgemeine Form einer Maschinenzahl in diesem Kontext ist \(±d_1.d_2d_3...d_t × b^e\).

Nun sollen die Zahlen \(x = 2.5413\) und \(y = 10.5391\) als Elemente von \(M(10, 5, 2)\) dargestellt werden. Das bedeutet, wir müssen sie in die Form \(±d_1.d_2d_3...d_t × 10^e\) bringen, wobei nur die ersten 5 signifikanten Ziffern beibehalten werden.

- x = 2.5413 hat bereits 5 signifikante Stellen, also bleibt sie unverändert in Bezug auf die signifikanten Stellen. Die Darstellung in \(M(10, 5, 2)\) ist \(2.5413 × 10^0\).

- y = 10.5391 hat auch 5 signifikante Stellen, bleibt also ebenfalls in dieser Hinsicht unverändert. Die normierte Form darin ist \(1.0539 × 10^1\) in \(M(10, 5, 2)\).

ii) Berechnung der Werte a, b und c

Jetzt berechnen wir \(a = fl(x) + fl(y)\), \(b = fl(y) / fl(x)\), und \(c = fl(y) - fl(4 · x)\) unter Verwendung der oben genannten Darstellungen und rundung auf 5 signifikante Stellen.

- a)
\( fl(x) = 2.5413, \quad fl(y) = 1.0539 × 10^1 = 10.539 \)
\( a = 2.5413 + 10.539 = 13.0803 \approx 1.3080 × 10^1 \text{ (in } M(10, 5, 2) \text{)} \)

- b)
\( b = \frac{10.539}{2.5413} \approx 4.1476 \approx 4.1476 × 10^0 \text{ (in } M(10, 5, 2) \text{)} \)

- c)
\( fl(4 · x) = 4 · 2.5413 = 10.1652 \approx 1.0165 × 10^1 \)
\( c = 10.539 - 1.0165 × 10^1 = 0.3735 \approx 3.735 × 10^{-1} \text{ (in } M(10, 5, 2) \text{)} \)

iii) Folgerung in Bezug auf einen Körper

Ein Körper in der Algebra ist eine Menge, innerhalb derer die Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division (außer durch null) immer geschlossen sind und bestimmte Eigenschaften wie Assoziativgesetz, Kommutativgesetz, Distributivgesetz befolgt werden.

Das Problem bei Maschinenzahlen wie in \(M(10, 5, 2)\) ist, dass durch die Rundung Fehler eingeführt werden, was bedeutet, dass das Ergebnis einer Operation nicht unbedingt wieder eine Maschinenzahl der ursprünglichen Form ist. Zum Beispiel kann die Addition zweier Maschinenzahlen eine Zahl ergeben, die mehr signifikante Stellen hat, als in der Menge zugelassen sind, wodurch eine Rundung notwendig wird.

Die Ergebnisse aus Teil ii) zeigen, dass sogar einfache arithmetische Operationen mit Rundung verbunden sind, was impliziert, dass die Menge \(M(10, 5, 2)\) nicht alle Eigenschaften eines Körpers erfüllt – spezifisch die Geschlossenheit bei Operationen aufgrund von Rundungsfehlern. Daraus folgt, dass \(M(10, 5, 2)\) kein Körper im strengen mathematischen Sinne ist.
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