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Umrechnung von Dezimalzahlen in Q3.4-Fixkommadarstellung
Für die Aufgabe, die Dezimalzahl 3,75 in die Q3.4-Fixkommadarstellung umzuwandeln, gehen wir schrittweise vor. Dabei wird die Zahl in zwei Teile geteilt: den ganzzahligen Teil und den Bruchteil, und jeder Teil wird separat in eine Binärzahl umgewandelt. Im Q3.4-Format stehen drei Bits für den ganzzahligen Teil zur Verfügung und vier Bits für den Bruchteil.
Ganzzahliger Teil: 3
Die Umwandlung des ganzzahligen Teils (3) in Binär ist relativ einfach:
\(3_{10} = 11_{2}\)
Wir benötigen zwei Bits, um die Dezimalzahl 3 darzustellen, was innerhalb unseres Q3.4-Formats passt, da wir bis zu drei Bits für den ganzzahligen Teil verwenden können.
Umrechnung des Bruchteils: 0,75
Um den Bruchteil 0,75 in Binär umzuwandeln, betrachten wir den Bruchwert, der dem Bruchteil entspricht:
0,75 ist gleich \( \frac{3}{4} \).
Im binären System kann 0,75 direkt umgerechnet werden, indem man bedenkt, dass jedes Bit nach dem Komma einen Bruchteil darstellt, der einer Potenz von \(2^{-n}\) entspricht, wobei \(n\) die Position nach dem Komma ist. Zum Beispiel repräsentiert das erste Bit nach dem Komma \(2^{-1} = 0,5\), das zweite \(2^{-2} = 0,25\), usw.
Um 0,75 binär darzustellen, starten wir mit dem höchsten Bruchteil:
- \(0,5\) passt einmal in \(0,75\), also notieren wir 1 und subtrahieren \(0,5\), wodurch \(0,25\) übrig bleibt.
- \(0,25\) passt einmal in \(0,25\), also notieren wir eine weitere 1.
Daraus folgt direkt, dass \(0,75_{10} = 0,11_{2}\) ist.
Zusammenfügen:
Die ganzzahligen und Bruchteile zusammenführend erhalten wir:
\(3_{10} = 11_{2}\) und \(0,75_{10} = 0,11_{2}\),
was zusammen \(3,75_{10} = 11,11_{2}\) ergibt.
Im Q3.4-Format dargestellt, nutzen wir drei Bits für den ganzzahligen Teil (011) und vier Bits für den Bruchteil (1100), also ist die gesamte Darstellung \(011,1100\).
Abweichung zum vorgegebenen Wert:
Da \(3,75\) exakt als Q3.4-Fixkommazahl dargestellt werden kann (d.h., ohne Rundung), gibt es hier keine Abweichung zum vorgegebenen Dezimalwert. Die genaue Darstellung lautet \(011,1100\), was exakt \(3,75_{10}\) entspricht.
Die genannte Rechnung in deiner Lösung, worin versucht wurde, 0,75 in Binär umzuwandeln, und die Annäherung an das Ergebnis 2,5 erscheint fehlerhaft. Im binären System gibt es keine "," wie in Dezimalzahlen, und die Darstellung von Brüchen folgt einer anderen Logik, wie oben erklärt.
