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Frage - Gebrochene Binärzahlen:

(a) Berechnen Sie für die folgenden Dezimalzahlen die Q3.4-Fixkommadarstellung. Geben Sie an, um welchen Wert die berechnete Zahl in Q3.4-Darstellung vom vorgegebenen, dezimalen Wert abweicht.

a) 3,75 (10 Dezimal).


Meine Lösung:

Es gilt für 3 (Binär-)Stellen vor, und 4 Stellen nach dem Komma . Sprich zerlege 3,75 = 3 + 0,75 !

Für die 3 gilt :

3 (Dezimalzahl) = 11 (Binärzahl)!


Die Nachkommastelle 0,75 wandele ich in einen Bruch um und führe eine schriftliche Division durch:

0,75 = 3/4 !


Rechnung:

3 : 4 = 0   R: 25

7 : 4 = 1  R: 25    ← Hier sollte 75 stehen aber es kann nicht sein da sonst: 16,...bekommen würde     

= Und ab hier wiederholt sich das ganze. Die Multiplkation mit 25 entspricht dem Anhängen der binären 0 an den Rest. Das Ergebnis ist also:

0,75 (Dezimal) = 2,5 (Binär) !


Zusammen ist dann:

3+3^-2+3^-3 = 3,148(Dezimal) 


Was würdet ihr sagen?

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Antwort mit KI erzeugt

Umrechnung von Dezimalzahlen in Q3.4-Fixkommadarstellung

Für die Aufgabe, die Dezimalzahl 3,75 in die Q3.4-Fixkommadarstellung umzuwandeln, gehen wir schrittweise vor. Dabei wird die Zahl in zwei Teile geteilt: den ganzzahligen Teil und den Bruchteil, und jeder Teil wird separat in eine Binärzahl umgewandelt. Im Q3.4-Format stehen drei Bits für den ganzzahligen Teil zur Verfügung und vier Bits für den Bruchteil.

Ganzzahliger Teil: 3

Die Umwandlung des ganzzahligen Teils (3) in Binär ist relativ einfach:

\(3_{10} = 11_{2}\)

Wir benötigen zwei Bits, um die Dezimalzahl 3 darzustellen, was innerhalb unseres Q3.4-Formats passt, da wir bis zu drei Bits für den ganzzahligen Teil verwenden können.

Umrechnung des Bruchteils: 0,75

Um den Bruchteil 0,75 in Binär umzuwandeln, betrachten wir den Bruchwert, der dem Bruchteil entspricht:

0,75 ist gleich \( \frac{3}{4} \).

Im binären System kann 0,75 direkt umgerechnet werden, indem man bedenkt, dass jedes Bit nach dem Komma einen Bruchteil darstellt, der einer Potenz von \(2^{-n}\) entspricht, wobei \(n\) die Position nach dem Komma ist. Zum Beispiel repräsentiert das erste Bit nach dem Komma \(2^{-1} = 0,5\), das zweite \(2^{-2} = 0,25\), usw.

Um 0,75 binär darzustellen, starten wir mit dem höchsten Bruchteil:

- \(0,5\) passt einmal in \(0,75\), also notieren wir 1 und subtrahieren \(0,5\), wodurch \(0,25\) übrig bleibt.
- \(0,25\) passt einmal in \(0,25\), also notieren wir eine weitere 1.

Daraus folgt direkt, dass \(0,75_{10} = 0,11_{2}\) ist.

Zusammenfügen:

Die ganzzahligen und Bruchteile zusammenführend erhalten wir:

\(3_{10} = 11_{2}\) und \(0,75_{10} = 0,11_{2}\),

was zusammen \(3,75_{10} = 11,11_{2}\) ergibt.

Im Q3.4-Format dargestellt, nutzen wir drei Bits für den ganzzahligen Teil (011) und vier Bits für den Bruchteil (1100), also ist die gesamte Darstellung \(011,1100\).

Abweichung zum vorgegebenen Wert:

Da \(3,75\) exakt als Q3.4-Fixkommazahl dargestellt werden kann (d.h., ohne Rundung), gibt es hier keine Abweichung zum vorgegebenen Dezimalwert. Die genaue Darstellung lautet \(011,1100\), was exakt \(3,75_{10}\) entspricht.

Die genannte Rechnung in deiner Lösung, worin versucht wurde, 0,75 in Binär umzuwandeln, und die Annäherung an das Ergebnis 2,5 erscheint fehlerhaft. Im binären System gibt es keine "," wie in Dezimalzahlen, und die Darstellung von Brüchen folgt einer anderen Logik, wie oben erklärt.
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