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Aufgabe:

Wir betrachten das Terminalalphabet Σ = {a,b,c}.

Geben Sie erkennende Kellerautomaten sowie erzeugende kontextfreie Grammatiken für folgende Sprachen L1 an:

L1 :={wv|v∈{c}^+,w∈{a,b}*,|w|=|v|}

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Geben Sie erkennende Kellerautomaten sowie erzeugende kontextfreie Grammatiken für L1 an

Für die Sprache \(L_1 = \{wv | v \in \{c\}^+, w \in \{a,b\}^*, |w| = |v|\}\) entwerfen wir zuerst einen erkennenden Kellerautomaten (PDA) und dann eine erzeugende kontextfreie Grammatik (CFG).

Kellerautomat (PDA) für L1

Ein Kellerautomat kann die Sprache \(L_1\) erkennen, indem für jedes gelesene Zeichen aus \(\{a, b\}\) ein spezielles Symbol (z. B. ein "X") auf den Kellerstack gelegt wird. Wenn dann ein "c" gelesen wird, entfernt der Automat für jedes "c" ein "X" vom Stack. Wenn der Input endet und der Stack leer ist, akzeptiert der Automat die Eingabe.

Der PDA kann formell definiert werden als \(P = (Q, \Sigma, \Gamma, \delta, q_0, Z_0, F)\), wobei:

- \(Q\) ist die Menge der Zustände \(\{q_0, q_1, q_2\}\).
- \(\Sigma\) ist das Eingabealphabet \(\{a, b, c\}\).
- \(\Gamma\) ist das Stack-Alphabet \(\{X, Z_0\}\), wobei \(Z_0\) das Startsymbol des Stacks ist.
- \(\delta\) ist die Überführungsfunktion.
- \(q_0\) ist der Startzustand.
- \(Z_0\) ist das Startsymbol des Stacks.
- \(F\) ist die Menge der akzeptierenden Zustände \(\{q_2\}\).

Die Überführungsfunktion \(\delta\) kann wie folgt definiert werden:
1. \(\delta(q_0, a, Z_0) = \{(q_0, XZ_0)\}\), \(\delta(q_0, b, Z_0) = \{(q_0, XZ_0)\}\) und für jedes andere Symbol \(x\) im Stack: \(\delta(q_0, a, x) = \{(q_0, Xx)\}\), \(\delta(q_0, b, x) = \{(q_0, Xx)\}\). Das bedeutet, dass für jedes "a" oder "b", das gelesen wird, ein "X" auf den Stack gelegt wird, egal was gerade oben auf dem Stack ist.
2. \(\delta(q_0, c, X) = \{(q_1, \epsilon)\}\). Wenn ein "c" gelesen wird und ein "X" oben auf dem Stack ist, wechselt der Zustand zu \(q_1\) und entfernt ein "X" vom Stack.
3. \(\delta(q_1, c, X) = \{(q_1, \epsilon)\}\). Das bedeutet, dass für jedes weitere "c", das gelesen wird, ein "X" entfernt wird, solange welche auf dem Stack sind.
4. \(\delta(q_1, \epsilon, Z_0) = \{(q_2, \epsilon)\}\). Der Automat akzeptiert die Eingabe, wenn das Ende der Eingabe erreicht ist und der Stack leer ist.

Kontextfreie Grammatik (CFG) für L1

Eine kontextfreie Grammatik für \(L_1\) kann erstellt werden, indem wir Regeln einführen, die Strings der Form \(wv\) erzeugen, wobei \(|w| = |v|\) und die Symbole in \(v\) ausschließlich "c" sind.

Die Grammatik \(G = (V, \Sigma, R, S)\) für \(L_1\) ist definiert durch:
- \(V\) ist die Menge der Variablen \(\{S, A\}\).
- \(\Sigma\) ist das Terminalalphabet \(\{a, b, c\}\).
- \(S\) ist das Startsymbol.
- \(R\) ist die Menge der Produktionsregeln, die wie folgt definiert sind:
1. \(S \rightarrow aSc | bSc | Ac\)
2. \(A \rightarrow cA | \epsilon\)

Hierbei erzeugt die erste Regel Strings, bei denen für jedes "a" oder "b" am Anfang ein "c" am Ende hinzu kommt, was die Bedingung \(|w| = |v|\) erfüllt. Die zweite Regel ermöglicht es, zusätzliche "c"s am Ende ohne zugehörige "a"s oder "b"s hinzuzufügen, was dem Teil \(v \in \{c\}^+\) entspricht. Der Teil \(|v| > 0\) wird durch die Regel \(A \rightarrow cA\) zusammen mit der Basisregel \(A \rightarrow \epsilon\) abgedeckt, welche sicherstellt, dass mindestens ein "c" generiert wird.
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