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Aufgabe:

Entwirf einen Algorithmus "Durchmesser" in Pseudocode (maximal 10 Zeilen) mit Laufzeit O(n² + nm), der für einen gegebenen Graphen G den Wert diam(G) bestimmt. Begründe kurz, warum die Laufzeit eingehalten wird.


Hinweis: Ein Korrektheitsbeweis für die Algorithmen ist nicht erforderlich.

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Algorithmus "Durchmesser"
Der Durchmesser eines Graphen wird definiert als die größte Entfernung zwischen zwei Knoten in einem Graphen. Der folgende Pseudocode beschreibt einen Algorithmus mit einer Laufzeit von \(O(n^2 + nm)\), um den Durchmesser eines Graphen \(G\) zu berechnen. Der Algorithmus basiert auf der Annahme, dass der Graph ungerichtet und zusammenhängend ist und dass \(n\) die Anzahl der Knoten und \(m\) die Anzahl der Kanten im Graphen ist.

pseudocode
1. Initialisiere diameter zu 0
2. Für jeden Knoten u in G:
3.     Setze Entfernung d für alle Knoten zu unendlich, außer für u (d(u) = 0)
4.     Initialisiere eine Warteschlange Q und füge u hinzu
5.     Während Q nicht leer ist:
6.         Entferne v von Q
7.         Für jeden Nachbarn w von v:
8.             Wenn d(w) unendlich ist, setze d(w) = d(v) + 1, füge w zu Q hinzu
9.     MaxD = max(d) für diesen u
10.    Wenn MaxD > diameter, setze diameter = MaxD
11. Gebe diameter zurück


Begründung der Laufzeit
Der Algorithmus berechnet für jeden Knoten \(u\) die kürzeste Entfernung zu allen anderen Knoten mithilfe einer Breitensuche. Die Breitensuche (Schritte 5-8) hat eine Laufzeit von \(O(n + m)\), da jeder Knoten und jede Kante des Graphen genau einmal betrachtet wird. Da dieser Prozess für jeden der \(n\) Knoten wiederholt wird (Schritt 2), resultiert eine Gesamtlaufzeit von \(O(n^2 + nm)\) für die Berechnung des Durchmessers des Graphen.
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