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Frage:

ε-NFA ~> DFA: Konstruieren Sie den Potenzmengenautomaten zu dem folgenden ε-NFA über dem Alphabet {a, b}. Beschränken Sie sich auf die vom Startzustand des DFAs aus erreichbaren Zustände.

Screenshot 2022-04-25 at 16.39.13.png

Begründen Sie Ihre Wahl des Startzustandes und Ihre Wahl der akzeptierenden Zustände. Geben Sie insbesondere die Menge ε-closure(5) an.

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Okay, wir möchten den Potenzmengenautomaten (DFA) aus einem ε-NFA konstruieren. Dafür müssen wir die von Subset Construction (Potenzmengen-Konstruktion) genannten Schritte befolgen und insbesondere den ε-Übergang beachten.

Gegeben:
Ein ε-NFA über dem Alphabet \(\{a, b\}\). Die Zustände sind \(Q = \{1, 2, 3, 4, 5\}\) und der Startzustand ist Zustand \(1\). Die akzeptierenden Zustände sind \( F = \{5\} \).

Schritte zur Konstruktion des DFA aus dem gegebenen ε-NFA:

1. ε-Closure berechnen:
Für jeden Zustand des ε-NFA berechnen wir die Menge der Zustände, die per beliebig vielen ε-Übergängen erreicht werden können.

- ε-Closure(1) = {1, 2, 4}
- ε-Closure(2) = {2}
- ε-Closure(3) = {3, 4}
- ε-Closure(4) = {4}
- ε-Closure(5) = {5, 2}

2. Startzustand berechnen:
Der Startzustand des DFA entspricht der ε-Closure des Startzustands des ε-NFA.

- Startzustand DFA = ε-Closure(1) = \{1, 2, 4\}

3. Zustandsübergänge berechnen:
Wir müssen die Übergänge für jede Kombination von Zuständen in den jeweiligen Gruppen berechnen.

- Von ε-Closure(1) = \{1, 2, 4\} auf das Symbol 'a':
- Zustand 1 geht mit 'a' zu 2.
- Zustand 2 geht mit 'a' zu keinem Zustand.
- Zustand 4 geht mit 'a' zu keinem Zustand.

ε-Closure(2) = {2}, also ergibt dies \{2\}.

Von \{2\} wenden wir ε-Closure an:
- ε-Closure(2) = \{2\}

- Von ε-Closure(1) = \{1, 2, 4\} auf das Symbol 'b':
- Zustand 1 geht mit 'b' zu 3.
- Zustand 2 geht mit 'b' zu 5.
- Zustand 4 geht mit 'b' zu 5.

ε-Closure(3) = {3, 4}, ε-Closure(5) = {5, 2}.

Die Vereinigungsmenge ergibt {2, 3, 4, 5}.

Jetzt ε-Closure von \{2, 3, 4, 5\}:
- ε-Closure (2) = \{2\}
- ε-Closure (3) = \{3, 4\}
- ε-Closure (4) = \{4\}
- ε-Closure (5) = \{5, 2\}

Zusammengerechnet ergibt das \{2, 3, 4, 5\}.

Daher sieht die Übergangstabelle dann so aus:

\( \begin{array}{c|c|c} \text{Zustand des DFA} & a & b \\ \hline \{1, 2, 4\} & \{2\} & \{2, 3, 4, 5\} \\ \{2\} & \text{leere Menge} & \{5, 2\} \\ \{2, 3, 4, 5\} & \{2\}& \{2, 3, 4, 5\} \\ \end{array} \)

4. Akzeptierende Zustände bestimmen:
Ein Zustand im DFA ist akzeptierend, wenn er einen akzeptierenden Zustand des NFA enthält.

Da der akzeptierende Zustand im NFA \(5\) ist, so sind alle DFA-Zustände, die die \(5\) enthalten, akzeptierend:
- \{2, 3, 4, 5\}, {5, 2}.

Ergebnis

Der resultierende DFA hat die Zustände \(\{1, 2, 4\}\), \(\{2\}\), und \(\{2, 3, 4, 5\}\) mit den entsprechenden Übergängen und akzeptierenden Zuständen:

Startzustand:
\(\{1, 2, 4\}\)

Akzeptierende Zustände:
\(\{2, 3, 4, 5\}\), {5, 2}.

So, dies illustriert die vollständige Durchführung der Subset Construction algorithm, die einen DFA aus einem ε-NFA erzielt.
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