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Aufgabe:

Ich muss mit Hilfe der Potenzmengenkonstruktion den zugehörigen DFA aus N konstruieren.

Dazu soll ich dann eine Tabelle erstellen mit den Übergängen.

Schließlich soll ich den resultierenden DFA graphisch darstellen.

Abbildung:

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Potenzmengenkonstruktion zur Umwandlung eines NFA in einen DFA

Die Potenzmengenkonstruktion (Subset Construction) ist eine Methode, um aus einem Nichtdeterministischen Endlichen Automaten (NFA) einen Deterministischen Endlichen Automaten (DFA) zu konstruieren. Hier sind die Schritte, die wir befolgen müssen:

1. Bestimmen der Zustandsmenge des DFAs: Die Zustände des DFAs sind Mengen von Zuständen des NFAs. Das heißt, jeder Zustand des DFAs repräsentiert eine Menge von Zuständen des NFAs.

2. Startzustand: Der Startzustand des DFAs ist die Menge, die nur den Startzustand des NFAs enthält.

3. Akzeptierende Zustände: Ein Zustand des DFAs ist akzeptierend, wenn er mindestens einen akzeptierenden Zustand des NFAs enthält.

4. Übergangsrelation: Die Übergangsrelation des DFAs wird so definiert, dass für jede Eingabe und jeden Zustand die Menge der Zielzustände die Vereinigung aller Zielzustände der Übergänge des NFAs ist.

Gegeben sei der NFA:
- Zustandsmenge \( Q = \{ q_0, q_1, q_2 \} \)
- Alphabet \( \Sigma = \{ a, b \} \)
- Übergangsrelation
\( \delta: \begin{cases} \delta(q_0, a) = \{ q_0, q_1 \} \\ \delta(q_0, b) = \{ q_0 \} \\ \delta(q_1, a) = \{ q_2 \} \\ \delta(q_1, b) = \{ q_2 \} \\ \delta(q_2, a) = \emptyset \\ \delta(q_2, b) = \emptyset \\ \end{cases} \)

- Startzustand \( q_0 \)
- Akzeptierende Zustände \( F = \{ q_2 \} \)

Schritte der Potenzmengenkonstruktion:

1. Startzustand des DFAs:
\( \{ q_0 \} \)

2. Übergänge von \( \{ q_0 \} \):
- Für \( a \): \( \delta(q_0, a) = \{ q_0, q_1 \} \) => DFA Zustand \( \{ q_0, q_1 \} \)
- Für \( b \): \( \delta(q_0, b) = \{ q_0 \} \) => DFA Zustand \( \{ q_0 \} \)

3. Übergänge von \( \{ q_0, q_1 \} \):
- Für \( a \): \( \delta(q_0, a) \cup \delta(q_1, a) = \{ q_0, q_1 \} \cup \{ q_2 \} = \{ q_0, q_1, q_2 \} \)
- Für \( b \): \( \delta(q_0, b) \cup \delta(q_1, b) = \{ q_0 \} \cup \{ q_2 \} = \{ q_0, q_2 \} \)

4. Übergänge von \( \{ q_0, q_1, q_2 \} \):
- Für \( a \): \( \delta(q_0, a) \cup \delta(q_1, a) \cup \delta(q_2, a) = \{ q_0, q_1 \} \cup \{ q_2 \} = \{ q_0, q_1, q_2 \} \)
- Für \( b \): \( \delta(q_0, b) \cup \delta(q_1, b) \cup \delta(q_2, b) = \{ q_0 \} \cup \{ q_2 \} = \{ q_0, q_2 \} \)

5. Übergänge von \( \{ q_0, q_2 \) \):
- Für \( a \): \( \delta(q_0, a) \cup \delta(q_2, a) = \{ q_0, q_1 \} \cup \emptyset = \{ q_0, q_1 \} \)
- Für \( b \): \( \delta(q_0, b) \cup \delta(q_2, b) = \{ q_0 \} \cup \emptyset = \{ q_0 \} \)

Übergangstabelle des DFAs:

\( \begin{array}{c|c|c} \text{Zustand} & a & b \\ \hline \{ q_0 \} & \{ q_0, q_1 \} & \{ q_0 \} \\ \{ q_0, q_1 \} & \{ q_0, q_1, q_2 \} & \{ q_0, q_2 \} \\ \{ q_0, q_1, q_2 \} & \{ q_0, q_1, q_2 \} & \{ q_0, q_2 \} \\ \{ q_0, q_2 \} & \{ q_0, q_1 \} & \{ q_0 \} \\ \end{array} \)

Akzeptierende Zustände des DFAs:
- \( \{ q_0, q_1, q_2 \} \)
- \( \{ q_0, q_2 \} \) (weil sie \( q_2 \) enthalten, der ein akzeptierender Zustand im NFA ist)

Graphische Darstellung des DFAs:

Die graphische Darstellung kann mit Graphviz Code folgend aussehen:

dot
digraph DFA {
  rankdir=LR;
  node [shape = doublecircle]; "{q_0,q_1,q_2}" "{q_0,q_2}";
  node [shape = circle];
  "{q_0}" -> "{q_0,q_1}" [label = "a"];
  "{q_0}" -> "{q_0}" [label = "b"];
  "{q_0,q_1}" -> "{q_0,q_1,q_2}" [label = "a"];
  "{q_0,q_1}" -> "{q_0,q_2}" [label = "b"];
  "{q_0,q_1,q_2}" -> "{q_0,q_1,q_2}" [label = "a"];
  "{q_0,q_1,q_2}" -> "{q_0,q_2}" [label = "b"];
  "{q_0,q_2}" -> "{q_0,q_1}" [label = "a"];
  "{q_0,q_2}" -> "{q_0}" [label = "b"];
  // Start state
  "" [shape = none];
  "" -> "{q_0}";
}


Mit diesen Schritten haben wir den NFA erfolgreich in einen DFA umgewandelt:

1. Wir haben die Zustands- und Übergangstabelle des DFAs konstruiert.
2. Wir haben die Akzeptierenden Zustände des DFAs bestimmt.
3. Wir haben die graphische Darstellung des DFAs erstellt.
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