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Frage:

Wort und Grammatik der Sprache bilden.

L= {0^2n 110(01)^n | n ≥ 0} ⊆ {0, 1}*

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Wort und Grammatik der Sprache bilden

Um die Sprache \( L \) zu analysieren und eine Grammatik dafür zu erstellen, betrachten wir die gegebene Menge \( L = \{0^{2n}110(01)^{n} \mid n \geq 0\} \subseteq \{0,1\}^{*} \).

Worte der Sprache
Ein Wort der Sprache \( L \) hat die Form:

\( 0^{2n}110(01)^{n} \)

- \( 0^{2n} \) bedeutet, dass wir eine gerade Anzahl (genau \( 2n \)) von Nullen haben.
- Darauf folgt die Sequenz "110".
- Schließlich folgt \( (01)^{n} \), also die Sequenz "01", \( n \) Male wiederholt.

Beispiele für verschiedene Werte von \( n \):

1. Für \( n = 0 \):

\( 0^{2 \cdot 0}110(01)^{0} = 110 \)

2. Für \( n = 1 \):

\( 0^{2 \cdot 1}110(01)^{1} = 0011001 \)

3. Für \( n = 2 \):

\( 0^{2 \cdot 2}110(01)^{2} = 000011000101 \)

4. Für \( n = 3 \):

\( 0^{2 \cdot 3}110(01)^{3} = 000000110010101 \)

Grammatik der Sprache
Um eine kontextfreie Grammatik (CFG) für die Sprache \( L \) zu erstellen, definieren wir eine Grammatik \( G = (V, \Sigma, R, S) \), wobei:

- \( V \) ist eine endliche Menge von Variablen.
- \( \Sigma \) ist das endliche Alphabet.
- \( R \) ist eine endliche Menge von Produktionsregeln.
- \( S \) ist das Startsymbol.

Für unsere Sprache:

- Das Alphabet ist \( \Sigma = \{0, 1\} \).
- Die Variable (Nichtterminalsymbole) sind \( V = \{S\} \) und möglicherweise zusätzliche Nichtterminalsymbole für Zwischenproduktion.
- \( S \) ist das Startsymbol.

Die Produktionsregeln \( R \) sind:

\( S \rightarrow 110 \mid 0S0(01) \mid 0S0(01)S \)

Diese Regeln bedeuten:

1. \( S \rightarrow 110 \): Dies gilt für \( n = 0 \) und erzeugt das Wort "110".
2. \( S \rightarrow 0S0(01) \): Dies bedeutet, dass für jedes \( n > 0 \), der Startsymbol \( S \) durch \( 0S0(01) \) ersetzt wird. Jede Anwendung dieser Regel fügt zweimal 0 vor und hinter dem nächsten \( S \), und danach kommt "01". Dies setzt sich rekursiv fort, bis \( S \) den Basisfall \( 110 \) erreicht.

Beispiel für einen Ableitungsbaum für \( n = 1 \) (Wort: 0011001):

\( S \Rightarrow 0S0(01) \Rightarrow 0011001 \)

Ein weiterer nützlicher Ansatz könnte sein, die grammatischen Regeln mit zusätzlichen Nichtterminalsymbolen zu modularisieren:

\( \begin{aligned} S &\rightarrow 0A0 \mid 110 \\ A &\rightarrow (01)S \mid \epsilon \\ \end{aligned} \)

Hier ist \( A \) ein neues Nichtterminalsymbol, das verwendet wird, um die Sequenz von \( (01) \) korrekt zu erzeugen.

Zusammenfassung

- Die Sprache \( L \) besteht aus Wörtern der Form \( 0^{2n}110(01)^n \) mit \( n \geq 0 \).
- Eine CFG für diese Sprache umfasst Regeln, die rekursiv \( 0^{2n} \) voranstellen und hinten die Sequenz \( (01)^n \) hinzufügen, wobei zwischendurch die feste Sequenz "110" steht.
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