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Aufgabe:

In der Vorlesung wurde eine Version von "Randomized Response" vorgestellt: Teilnehmern einer Umfrage wird ein Kreisel gegeben, der mit Wahrscheinlichkeit \( p \) "Ja" und mit Wahrscheinlichkeit \( 1-p \) "Nein" angibt. Wenn die eigene (wahre) Antwort auf die Umfrage der Antwort des Kreisels entspricht, gibt man "True" zurück, ansonsten "False".

Zeigen Sie, dass die obige Kreisel-Methode differentially private ist, und nennen Sie eine Abschätzung für \( \epsilon \) in Abhängigkeit von p.

Zur Erinnerung: Ein Algorithmus \( A \) wird \( \epsilon \)-differentially private genannt, wenn
\( \operatorname{Pr}[A(x) \in S] \leq e^{\epsilon} \cdot \operatorname{Pr}[A(y) \in S] \)
für alle \( S \subseteq \) output \( (A) \), wobei \( x \) und \( y \) zwei Datenbanken sind, die sich in einem Eintrag unterschei\( \operatorname{den}\left(\|x-y\|_{1}=1\right) \)

Hinweis: Es ist hinreichend, den Fall zu betrachten, dass \( x \) und \( y \) jeweils eine "Befragung" sind, mit unterschiedlicher wahrer Antwort. output \( (A)=[0,1] \) sind die möglichen Resultate nach der Randomisierung \( (0= \) False, \( 1= \) True). Überlegen Sie sich, für welche S Sie die Ungleichung ausrechnen müssen, und wie sich aus den Ergebnissen die untere Schranke von \( \epsilon \) ergibt.

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Antwort mit KI erzeugt

Um zu zeigen, dass die Kreisel-Methode (Randomized Response) \(\epsilon\)-differentially private ist, analysieren wir die Wahrscheinlichkeiten von "True" und "False" gegeben, dass die wahre Antwort \( a \) entweder "Ja" (\(a = 1\)) oder "Nein" (\(a = 0\)) ist.

## Wahrscheinlichkeiten analysieren

Zuerst definieren wir die Wahrscheinlichkeiten der Ausgabe abhängig von der wahren Antwort \( a \):

1. Wahre Antwort \( a = 1 \):
- Kreisel zeigt "Ja" mit Wahrscheinlichkeit \( p \).
- Kreisel zeigt "Nein" mit Wahrscheinlichkeit \( 1-p \).
- Teilnehmer sagt "True", wenn der Kreisel "Ja" anzeigt. Das passiert also mit Wahrscheinlichkeit \( p \).
- Teilnehmer sagt "False", wenn der Kreisel "Nein" anzeigt. Das passiert also mit Wahrscheinlichkeit \( 1-p \).

2. Wahre Antwort \( a = 0 \):
- Kreisel zeigt "Ja" mit Wahrscheinlichkeit \( p \).
- Kreisel zeigt "Nein" mit Wahrscheinlichkeit \( 1-p \).
- Teilnehmer sagt "True", wenn der Kreisel "Ja" anzeigt. Das passiert also mit Wahrscheinlichkeit \( p \).
- Teilnehmer sagt "False", wenn der Kreisel "Nein" anzeigt. Das passiert also mit Wahrscheinlichkeit \( 1-p \).

Die Wahrscheinlichkeiten der gemeldeten Antworten sind also:
- \( \operatorname{Pr}[\text{True} \mid a = 1] = p \)
- \( \operatorname{Pr}[\text{False} \mid a = 1] = 1 - p \)
- \( \operatorname{Pr}[\text{True} \mid a = 0] = p \)
- \( \operatorname{Pr}[\text{False} \mid a = 0] = 1 - p \)

## Differential Privacy Abschätzung

Differential Privacy verlangt, dass für alle möglichen Outputs \( S \subseteq \{0,1\} \), wobei \(0 = \text{False}\) und \(1 = \text{True}\), gilt:
\( \frac{\operatorname{Pr}[A(x) \in S]}{\operatorname{Pr}[A(y) \in S]} \leq e^{\epsilon} \)

Da es nur zwei mögliche Outputs gibt ("True" und "False"), müssen wir das Verhältnis der Wahrscheinlichkeiten für beide Antworten überprüfen.

Verhältnis von Wahrscheinlichkeiten:

1. True:
\( \frac{\operatorname{Pr}[\text{True} \mid a = 1]}{\operatorname{Pr}[\text{True} \mid a = 0]} = \frac{p}{p} = 1 \)

2. False:
\( \frac{\operatorname{Pr}[\text{False} \mid a = 1]}{\operatorname{Pr}[\text{False} \mid a = 0]} = \frac{1 - p}{1 - p} = 1 \)

Diese Verhältnisse sind alle \(1\), also gilt in beiden Fällen schon:
\( \frac{1}{1} = 1 \leq e^{\epsilon} \)

Hieraus folgt, dass die Kreisel-Methode genau genommen \(\epsilon = 0\)-differentially private ist, da \(\epsilon\) die Ungleichung immer erfüllt, unabhängig vom Wert von \(\epsilon\).

## Zusammenfassung

Die Kreisel-Methode ist tatsächlich \(\epsilon\)-differentially private mit \(\epsilon = 0\), da die Wahrscheinlichkeiten für "True" und "False" unabhängig von der wahren Antwort \( a \) gleich sind. Die Abschätzung zeigt also, dass:

\( \epsilon = 0 \)

in Abhängigkeit von der Wahrscheinlichkeit \( p \). Die Methode hat einen höchstmöglichen Schutz der Privatsphäre, da die Wahrscheinlichkeitsverhältnisse immer 1 sind.
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