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Aufgabe 1 (10 Punkte)
Bestimmen Sie die Wahrheitstabelle für den logischen Ausdruck:
\( (p \vee \neg q) \wedge \neg p \)
Aufgabe 2 (10 Punkte)
Gegeben ist die Aussage "zu jedem \( a \in A \) existiert höchstens ein \( b \in B \), so dass \( a R b(a \text { ist in Relation zu } b)^{\text {“. . Diese können wir }} \) unterschiedlich durch logische Formeln ausdrücken. Zum Beispiel:
(a) \( \forall a \in A \quad \forall b_{1}, b_{2} \in B \quad\left(a R b_{1} \wedge a R b_{2}\right) \Rightarrow b_{1}=b_{2} \)
(b) \( \forall a \in A \quad \forall b_{1}, b_{2} \in B \quad b_{1} \neq b_{2} \Rightarrow\left(\neg a R b_{1} \vee \neg a R b_{2}\right) \)
(c) \( \neg \exists a \in A \quad \exists b_{1}, b_{2} \in B \quad\left(b_{1} \neq b_{2} \wedge a R b_{1} \wedge a R b_{2}\right) \)
Zeigen Sie durch Anwendung der Umformungsregeln für prädikatenlogische Formeln:
(i) (b) \( \Leftrightarrow \) (a).
(ii) (c) \( \Leftrightarrow \) (a).
(iii) Übersetzen Sie Formel (c) wieder in natürliche Sprache.
Umformungsregeln:
- \( [p \Rightarrow q] \quad \Leftrightarrow \quad[\neg q \Rightarrow \neg p] \)
- \( [\neg a \vee \neg b] \quad \Leftrightarrow \quad \neg[a \wedge b] \)
- \( [a \vee \neg b] \quad \Leftrightarrow \quad[b \Rightarrow a] \)
- Umwandlung der Quantoren \( \forall, \exists \)
Aufgabe 3 (10 Punkte)
Bestimmen Sie die Kardinalität folgender Mengen sowie die Potenzmenge und deren Kardinalität:
(a) \( A=\{2,7,8\} \)
(b) \( B=\{0,\{2,8\}\} \)
(c) \( C=\{\{\emptyset\}\} \)
(d) \( D=\{1,\{1\}\} \)
(e) \( E=\{\} \)
Aufgabe 4 (10 Punkte)
(a) Welche der folgenden Formeln ist wahr bzw. falsch? Geben Sie entweder ein Gegenbeispiel oder einen Beweis an.
\( \begin{array}{l} \forall A \forall B:[\mathcal{P}(A \backslash B)=\mathcal{P}(A) \backslash \mathcal{P}(B)] \\ \exists A \exists B:[\mathcal{P}(A \backslash B)=\mathcal{P}(A) \backslash \mathcal{P}(B)] \end{array} \)
(b) Welche der folgenden Formeln ist wahr bzw, falsch? Geben Sie entweder ein Gegenbeispiel oder einen Beweis an.
\( \begin{array}{l} \forall A \forall B:[\mathcal{P}(A \cup B)=\mathcal{P}(A) \cup \mathcal{P}(B)] \\ \forall A \forall B:[\mathcal{P}(A \cap B)=\mathcal{P}(A) \cap \mathcal{P}(B)] \end{array} \)
Wie mach ich Aufgabe 2 (ii)?
Unsere ganzer Kurs hats nicht geschafft
