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Aufgabe:

Geben Sie für die folgenden Grammatiken den größten Chomsky-Typ an.

Geben Sie außerdem an, welche Sprache die Grammatiken erzeugen.

({S, B, C} , {b, c} , P, S) mit
P = {S → bB | cC | c,
B → bB | cC | c,
C → ccC | cc}.

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Größter Chomsky-Typ:

Diese Grammatik fällt unter den Typ-2 (kontextfreie Grammatik) nach der Chomsky-Hierarchie.
Eine kontextfreie Grammatik hat ihre Produktionsregeln in der Form \( A \rightarrow \alpha \), wobei \( A \) ein einzelnes Nichtterminal ist und \( \alpha \) eine beliebige Kombination von Terminalen und/oder Nichtterminalen sein kann.

Erzeugte Sprache:

Um die von der Grammatik erzeugte Sprache zu bestimmen, analysieren wir die Produktionsregeln:

\( S → bB \;|\; cC \;|\; c \)
\( B → bB \;|\; cC \;|\; c \)
\( C → ccC \;|\; cc \)

1. Regel: \( S → bB \;|\; cC \;|\; c \)
- \( S \) kann in ein \( b \) gefolgt von \( B \) oder \( c \) gefolgt von \( C \) oder einfach ein alleinstehendes \( c \) umgewandelt werden.

2. Regel: \( B → bB \;|\; cC \;|\; c \)
- \( B \) kann in ein \( b \) gefolgt von \( B \) oder ein \( c \) gefolgt von \( C \) oder ein alleinstehendes \( c \) umgewandelt werden.

3. Regel: \( C → ccC \;|\; cc \)
- \( C \) kann in eine Folge von zwei \( c \)'s gefolgt von \( C \) oder einfach zwei \( c \)'s umgewandelt werden.

Analyse des Sprachgenerators:
- \( S \) kann direkt ein \( c \) erzeugen.
- \( S \) kann durch \( bB \) oder \( cC \) weiter expandiert werden.
- Jeder \( B \) kann wie \( S \) in \( bB \), \( cC \) oder \( c \) expandiert werden.
- \( C \) produziert Folgen von geraden Anzahl von \( c \)'s, nämlich \( cc \) oder \( cc \) gefolgt von mehr \( cc \).

Zusammenfassend erzeugt diese Grammatik Wörter der Form:
- Jede Anzahl von \( b \)'s gefolgt von jeder Anzahl von \( c \)'s, wobei \( c \) auch eine gerade Anzahl enthalten kann, durch die Expansion von \( C \).

Das ergibt die Sprache:
\( \{ b^n c^m \mid n \geq 0, m \geq 0 \text{ und wenn } m > 0, \text{ dann gerade} \} \)
oder einfacher gesagt:
\( \{ b^n c^m \mid n \geq 0, m \geq 0, \text{ und falls } m > 0, \text{ dann } m \text { ist gerade} \} \)

Zusammenfassung:
Größter Chomsky-Typ: Typ-2 (kontextfreie Grammatik)

Erzeugte Sprache:
\( \{ b^n c^m \mid n \geq 0, m \geq 0, \text{ und falls } m > 0, \text{ dann } m \text { ist gerade} \} \)
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