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Aufgabe (diskrete Mathematik):

Wir interpretieren (a|bb^∗a) als (a|(b((b^∗)a))) und zum Folgenden muss man dann einen regulären Ausdruck angeben.

L1 \ L2, wobei L1 := L(a^∗ b^∗ c^∗) und

L2 := L(c^∗ b^∗ a^∗)

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Einleitung

Bei dieser Aufgabe geht es darum, den regulären Ausdruck für die Differenz zweier Sprachen \(L1\) und \(L2\) zu finden. Die beiden Sprachen sind durch die regulären Ausdrücke \(a^*b^*c^*\) und \(c^*b^*a^*\) definiert. Wir müssen also den Teil der Sprache \(L1\) finden, der nicht in \(L2\) enthalten ist.

Definitionen

- \(L1\) ist die Sprache der Zeichenketten, die durch den regulären Ausdruck \(a^*b^*c^*\) beschrieben wird. Dies bedeutet, dass jede Zeichenkette in \(L1\) aus null oder mehr 'a's, gefolgt von null oder mehr 'b's, gefolgt von null oder mehr 'c's besteht.
- \(L2\) ist die Sprache der Zeichenketten, die durch den regulären Ausdruck \(c^*b^*a^*\) beschrieben wird. Dies bedeutet, dass jede Zeichenkette in \(L2\) aus null oder mehr 'c's, gefolgt von null oder mehr 'b's, gefolgt von null oder mehr 'a's besteht.

Analyse

Nun müssen wir den regulären Ausdruck für \(L1 \setminus L2\) angeben, also für die Menge aller Zeichenketten, die in \(L1\) sind, aber nicht in \(L2\).

Um dies zu verstehen, betrachte die Struktur der beiden regulären Ausdrücke:

1. Zeichenketten in \(L1\):
Jede Zeichenkette in \(L1\) besteht aus drei möglichen Teilen in der Reihenfolge \(a^*b^*c^*\).

2. Zeichenketten in \(L2\):
Jede Zeichenkette in \(L2\) besteht aus drei möglichen Teilen in der Reihenfolge \(c^*b^*a^*\).

Die Differenz \(L1 \setminus L2\) lässt sich also dadurch beschreiben, dass wir alle Zeichenketten aus \(L1\) nehmen und diejenigen entfernen, die auch in \(L2\) vorkommen:

- Wenn die Zeichenkette aus \(L1\) auch in \(L2\) vorkommt, muss sie sowohl die Bedingungen \(a^*b^*c^*\) als auch \(c^*b^*a^*\) erfüllen. Diese Zeichenketten müssen sowohl formbar sein aus null oder mehr 'a's gefolgt von null oder mehr 'b's gefolgt von null oder mehr 'c's, als auch aus null oder mehr 'c's gefolgt von null oder mehr 'b's gefolgt von null oder mehr 'a's.

Die einzigen Zeichenketten, die sowohl in \(a^*b^*c^*\) als auch in \(c^*b^*a^*\) sind, sind die Zeichenketten, die keine 'b's haben und nur entweder 'a's oder 'c's enthalten, da sie sowohl den Ausdruck \(a^*b^*c^*\) als auch \(c^*b^*a^*\) erfüllen.

Lösung

Die einzelnen Schritte beinhalten, dass wir uns überlegen, welche Zeichenketten in \(L1\) sind, aber nicht in \(L2\):

1. Eine Zeichenkette, die in \(L1\) ist, muss entweder als \(a^+b^+c^+\) vorliegen (wobei nicht alle Teile leer sind).
2. Eine Zeichenkette in \(L2\) entspricht jedoch einer Reihenfolge von \(a^*, b^*, c^*\) mit umgekehrter Reihenfolge.

Also müssen wir Zeichenketten ausschließen, die in beiden liegen. Das bedeutet, wir müssen Zeichenketten der Form \( a^nb^mc^k \) ausschließen, bei denen alle Kombinationen in \(L2\) fallen.

Ein regulärer Ausdruck für \(L1 \setminus L2\) wird also alle anderen Kombinationen umfassen:

\((a^+b^+c^*|a^+c^+|b^+c^+|a^*c^+|a^*b^+|b^+a^*|c^+a^*)\)

Dieser reguläre Ausdruck beschreibt die Menge der Zeichenketten, die in \(L1\) (also in \(a^*b^*c^*\)) liegen, aber nicht in \(L2\) (also in \(c^*b^*a^*\)) vorkommen.
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