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Frage: Wie finde ich eine Lösung für das Rucksack-Problem mit einem Orakel?

Aufgabe - Such- und Optimierungsvarianten:

Betrachten Sie folgende, aus der Vorlesung bekannte, Sprache.

\(  \text { RUCKSACK }=\left\{\begin{array}{l|l} \langle G, W, g, w\rangle & \begin{array}{c} G=\left\{g_{1}, \ldots, g_{n}\right\}, W=\left\{w_{1}, \ldots, w_{n}\right\}, g, w \in \mathbb{N}, \\ \text { für } 1 \leq i \leq n \text { ist } g_{i}, w_{i} \in \mathbb{N}, \text { und es } \end{array} \\ \text { gibt } S \subseteq\{1, \ldots, n\} \text { mit } \sum \limits_{i \in S} g_{i} \leq g \text { und } \sum \limits_{i \in S} w_{i} \geq w . \end{array}\right\} \)

Gehen Sie im folgenden davon aus, dass Sie Zugriff auf ein Orakel \( \mathfrak{O}_{\mathrm{RS}} \) haben. Gegeben eine Instanz \( I=\langle G, W, g, w\rangle \) kann Ihnen dieses Orakel in einem Zeitschritt beantworten, ob \( I \) in RuCKSACK liegt, oder nicht.
Zeigen Sie: Eine DTM, die \( \mathfrak{O}_{\mathrm{RS}} \) verwenden darf, kann
1. gegeben \( \langle G, W, g, w\rangle \in \) RuCKSACK in polynomieller Zeit ein \( S \subseteq\{1, \ldots, n\} \) berechnen, sodass \( \sum \limits_{i \in S} g_{i} \leq g \) und \( \sum \limits_{i \in S} w_{i} \geq w \).
2. gegeben \( \langle G, W, g\rangle \) in polynomieller Zeit ein \( w \in \mathbb{N} \) berechnen, sodass \( \langle G, W, g, w\rangle \in \) Rucksack, aber \( \langle G, W, g,(w+1)\rangle \notin \) Rucksack. Hierbei können Sie den Algorithmus aus Teilaufgabe 1 benutzen, müssen sich aber klar machen, was polynomiell in Bezug auf die Eingaben bedeutet.


Ansatz/Problem:

Ich bin mir ziemlich sicher, dass ich dynamische Programmierung verwenden muss, weil ich mir nicht vorstellen kann wie man sonst in polynomieller Zeit die Elemente in S betrachten kann. Weiß allerdings nicht, wie genau ich das anstellen soll.

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Antwort mit KI erzeugt:

Lösung des Rucksack-Problems mit einem Orakel

Das Rucksack-Problem (Knapsack Problem) ist ein bekanntes Optimierungsproblem, bei dem es darum geht, aus einer Menge von Gegenständen, die jeweils ein Gewicht und einen Wert haben, eine Auswahl zu treffen, sodass das Gesamtgewicht eine bestimmte Grenze nicht überschreitet und der Gesamtwert maximiert wird. Die Variante, die hier betrachtet wird, zielt darauf ab, eine Menge von Gegenständen zu finden, deren Gesamtgewicht eine vorgegebene Obergrenze \(g\) nicht überschreitet und deren Gesamtwert mindestens \(w\) beträgt.

Angenommen, wir haben Zugang zu einem Orakel \(\mathfrak{O}_{\mathrm{RS}}\), welches in der Lage ist, uns in einem Schritt zu sagen, ob eine gegebene Kombination von Gegenständen die Bedingungen erfüllt oder nicht. Das Ziel ist es nun, zu zeigen, wie mithilfe dieses Orakels eine Lösung in polynomieller Zeit gefunden werden kann.

1. Gegebene \(\langle G, W, g, w\rangle \) in RUCKSACK ein \(S \subseteq\{1, \ldots, n\}\) berechnen

Angenommen, wir haben eine Instanz \(I=\langle G, W, g, w\rangle\) und möchten ein solches \(S\) finden. Die direkte Anwendung des Orakels kann uns nur sagen, ob ein solches \(S\) existiert, aber nicht, was \(S\) ist. Jedoch können wir das Orakel nutzen, um \(S\) schrittweise zu konstruieren, indem wir systematisch prüfen, ob ein Element zur Lösung beiträgt oder nicht.

1. Wir starten mit einer leeren Menge \(S'\) und iterieren über alle Elemente \(i\) von \(1\) bis \(n\).
2. Für jedes \(i\), fragen wir das Orakel, ob die Hinzufügung von \(g_i\) zu \(S'\) die Bedingungen weiterhin erfüllt. Das bedeutet, wir fragen, ob \(\langle G, W, g, w\rangle\) mit \(S' \cup \{i\}\) noch in RUCKSACK liegt.
3. Wenn das Orakel bejaht, fügen wir \(i\) tatsächlich zu \(S'\) hinzu. Andernfalls lassen wir \(S'\) unverändert.
4. Am Ende dieses Prozesses wird \(S'\) eine gültige Lösung sein, denn wir haben sicher gestellt, dass jedes hinzugefügte Element die Bedingungen weiterhin erfüllt.

2. Gegebene \(\langle G, W, g\rangle\) ein \(w \in \mathbb{N}\) berechnen

Nun wollen wir das maximale \(w\) finden, für das \(\langle G, W, g, w\rangle\) noch in RUCKSACK liegt, aber \(\langle G, W, g, w+1\rangle\) nicht mehr.

Dafür können wir eine binäre Suche über den möglichen Bereich von \(w\) anwenden:
1. Setze ein unteres Limit \(w_{\text{min}}=0\) und ein oberes Limit \(w_{\text{max}}\) auf den maximal möglichen Wert, den die Summe der \(W\) erreichen kann.
2. Wende eine binäre Suche an, indem du in jedem Schritt das Orakel \(\mathfrak{O}_{\mathrm{RS}}\) fragst, ob eine Lösung für das mittlere \(w=(w_{\text{min}} + w_{\text{max}})/2\) existiert.
3. Wenn eine Lösung existiert, setze \(w_{\text{min}}\) auf dieses \(w\) und suche in der oberen Hälfte weiter. Wenn keine Lösung existiert, setze \(w_{\text{max}}\) auf dieses \(w\) und suche in der unteren Hälfte weiter.
4. Weiter geht es, bis \(w_{\text{max}} - w_{\text{min}} \leq 1\), d.h. man hat das größte \(w\) gefunden, für das noch eine Lösung existiert.

Bedeutung von polynomieller Zeit

Es ist wichtig zu verstehen, dass "in polynomieller Zeit finden" in Bezug auf die Länge der Eingabe bedeutet. Der Schlüssel hierzu ist, dass jede Operation, vor allem die Anfragen an das Orakel, in einer Zeit durchgeführt wird, die höchstens polynomial mit der Größe der Eingabe wächst. Da in den obigen Schritten keine exponentiell wachsende Schleife oder rekursive Anrufe vorkommen und die binäre Suche eine logaritmische Komplexität hat, sind die beschriebenen Verfahren in polynomieller Zeit durchführbar, unter der Annahme, dass der Orakel-Aufruf ein Schritt ist.

Fazit

Mit Zugang zu einem Orakel kann die Suche nach einer Lösung des Rucksack-Problems oder des maximalen \(w\), das die Bedingungen erfüllt, effizient in polynomieller Zeit gestaltet werden, indem systematische Anfragen an das Orakel und eine intelligente Suchstrategie (wie die binäre Suche) genutzt werden.
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