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Aufgabe:

Seien \( L, L^{\prime} \subseteq \Sigma^{*} \) zwei formale Sprachen. Wir definieren die Sprachen \( \min (L) \) und alt \( \left(L, L^{\prime}\right) \) wie folgt: \( \quad \min (L)=\left\{w \in \Sigma^{*} \mid w \in L\right. \) aber kein echter Präfix von \( w \) liegt in \( \left.L\right\} \).
Sind \( x=a_{1} a_{2} \ldots a_{n}, y=b_{1} b_{2} \ldots b_{n} \in \Sigma^{*} \) zwei Wörter gleicher Länge, dann ist alt \( (x, y)= \) \( a_{1} b_{1} a_{2} b_{2} \ldots a_{n} b_{n} \) und alt \( \left(L, L^{\prime}\right) \) bezeichnet die Menge aller Wörter der Form alt \( (x, y) \) wobei \( x \in L, y \in L^{\prime} \) und \( |x|=|y| \) gelten muss.
a) Zeigen Sie, dass für jede DFA-Sprache \( L \) auch \( \min (L) \) eine DFA-Sprache ist.

Hinweis: Leiten Sie aus einem DFA für \( L \) einen DFA ab, der alle Wörter akzeptiert, die einen echten Präfix in \( L \) haben und betrachten Sie die Komplementärsprache.
b) Zeigen Sie, dass für alle DFA-Sprachen \( L, L^{\prime} \subseteq \Sigma^{*} \) auch alt \( \left(L, L^{\prime}\right) \) eine DFA-Sprache ist. Hinweis: Verwenden Sie die Zustandsmenge \( Q \times Q^{\prime} \times\{0,1\} \).

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Teil a)

Zuerst zeigen wir, dass für jede durch einen Deterministischen Endlichen Automaten (DFA) erkannte Sprache \(L\), die Sprache \(\min(L)\) ebenfalls durch einen DFA erkannt werden kann.

Ein DFA für eine Sprache \(L\) kann definiert werden als ein 5-Tupel \((Q, \Sigma, \delta, q_0, F)\), wobei:

- \(Q\) die Menge der Zustände,
- \(\Sigma\) das Eingabealphabet,
- \(\delta: Q \times \Sigma \rightarrow Q\) die Überführungsfunktion,
- \(q_0\) der Startzustand und
- \(F \subseteq Q\) die Menge der akzeptierenden Zustände ist.

Für ein Wort \(w \in \Sigma^{*}\), das in \(L\) ist, aber kein echter Präfix von \(w\) in \(L\) liegt, muss der DFA nach dem Lesen von \(w\) in einem akzeptierenden Zustand sein und darf keinen Zustand durchlaufen, der \(w\) akzeptieren würde, bevor alle Zeichen von \(w\) gelesen sind.

Um \(\min(L)\) zu erkennen, führen wir folgende Schritte aus:

1. Konstruiere einen DFA \(D = (Q, \Sigma, \delta, q_0, F)\) für \(L\).

2. Modifiziere \(D\), um einen DFA \(D'\) zu erhalten, der alle Wörter akzeptiert, die einen echten Präfix in \(L\) haben. Dies kann erreicht werden, indem jeder Zustand, der zu \(F\) führen könnte (ein Zustand, von dem aus ein akzeptierender Zustand erreicht werden kann), selbst als akzeptierender Zustand in \(F'\) markiert wird. Zudem werden alle Zustandsübergänge, die zuvor auf nicht akzeptierende Zustände führten, so angepasst, dass sie auf die entsprechenden akzeptierenden Zustände in \(F'\) führen.

3. Bestimme die Komplementärsprache von \(D'\), um \(\min(L)\) zu erhalten, denn die Komplementärsprache umfasst alle Wörter, die nicht einen echten Präfix in \(L\) haben. Das kann erreicht werden, indem die Menge der akzeptierenden Zustände \(F'\) mit den nicht akzeptierenden Zuständen von \(D'\) vertauscht wird. Das Resultat ist ein DFA, der genau die Sprache \(\min(L)\) erkennt.

Teil b)

Nun zeigen wir, dass für alle durch einen DFA erkannten Sprachen \(L, L^{\prime} \subseteq \Sigma^{*}\) auch die Sprache alt \(\left(L, L^{\prime}\right)\) durch einen DFA erkannt werden kann.

Seien \(D = (Q, \Sigma, \delta, q_0, F)\) und \(D' = (Q', \Sigma, \delta', q'_0, F')\) DFAs, die \(L\) bzw. \(L'\) erkennen. Wir konstruieren einen DFA \(D'' = (Q'', \Sigma, \delta'', q''_0, F'')\), der alt\((L, L')\) erkennt, wie folgt:

- \(Q'' = Q \times Q' \times \{0, 1\}\), wobei das dritte Element des Tripels anzeigt, ob das nächste zu lesende Zeichen aus \(L\) (0) oder \(L'\) (1) ist.

- Der Startzustand \(q''_0 = (q_0, q'_0, 0)\).

- Die Überführungsfunktion \(\delta''\) reproduziert abwechselnd die Bewegungen der Automaten \(D\) und \(D'\), entsprechend dem dritten Element des Zustandstripels. Für \(((q, q', b), a) \in Q'' \times \Sigma\), wenn \(b = 0\), dann führt \(\delta''((q, q', 0), a)\) zu \((\delta(q, a), q', 1)\), und wenn \(b = 1\), führt es zu \((q, \delta'(q', a), 0)\).

- Die Menge der akzeptierenden Zustände \(F'' = F \times F' \times \{0\}\), weil ein Wort zu alt\(\left(L, L'\right)\) gehört, wenn es endet, nachdem beide \(L\) und \(L'\) ein Zeichen beigetragen haben, so dass das letzte Zeichen aus \(L'\) kommen muss.

Durch diese Konstruktion haben wir einen DFA, der genau die Wörter der Form alt\((x, y)\) akzeptiert, für \(x \in L\) und \(y \in L'\) mit \(|x| = |y|\), was beweist, dass alt\(\left(L, L'\right)\) eine DFA-Sprache ist.
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