Gleichung für beliebige Sprachen L über dem Alphabet ∑ zeigen: (L1 ∪ L2 )* = (L1* L2*)*

Question

Zu beweisen ist ,dass 
(L₁  ∪ L₂ )* = (L₁* L₂*)* Gleichungen für beliebige ∑ L_1,L₂ sind

EDIT(Lu) Habe die ursprüngliche Frage mit ein paar Begriffen aus dem Kommentar ergänzt. Man lese aber besser den ganzen Kommentar.

Comments

Was soll das sein? Sprachen? Wäre nett, wenn du etwas über deine Notation preisgibst.

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Es ist

Eine formale Sprache  über einem Alphabet  ist eine Teilmenge der Kleeneschen Hülle des Alphabets: .

Die aus einem gegebenen Alphabet  schlechthin bildbaren Wörter sind alle Wörter mit endlicher Länge (von 0 oder größer), deren jeder einzelne Buchstabe Element von  ist. Diese größtmögliche Wortmenge zum Alphabet  nennt man die Kleenesche Hülle des Alphabetes , formal kurz . Eine formale Sprache über einem Alphabet  ist also mathematisch gesehen eine bestimmte Teilmenge der Kleeneschen Hülle ihres Alphabets.

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EDIT: Habe deine ursprüngliche Frage mit ein paar Begriffen ergänzt und hoffe, das passt so.
Dir ist bewusst, dass du in der zu zeigenden Gleichung die Sternchen bei den Sprachen und nicht beim Alphabet hast?
Sind das denn nun alle denkbaren Sätze aus den Wörtern in L ? 

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Ja,so weit es ist mir klar.Ich habe sogar selbständige Lösung dazu erarbeitet aber vorher noch Paar wichtige Dinge :

Zwei Sprachen  über dem Alphabet  und  über dem Alphabet  sind banalerweise beide Sprachen auch über , also Mengen von Wörtern aus . Deshalb sind auch

• die Vereinigung 
• der Durchschnitt 
• die Differenz 

Sprachen über .

Und aus dem Skript:

betrachten wir zwei weitere naturliche Operationen auf Σ-Sprachen:

Konkate- ¨ nation (von zwei Σ-Sprachen) und Stern-Operation oder Iteration (einer Σ-Sprache). Konkatenation von Sprachen Die Konkatenation der Σ-Sprachen L1 und L2 ist die Σ-Sprache L1 · L2 := {v · w: v ∈ L1, w ∈ L2}. Durch n-fach iterierte Konkatenation einer Sprache L mit sich selbst erh¨alt man Sprachen L n fur ¨ n ∈ N, rekursiv definiert als L 0 := {ε} L n+1 := L n · L fur ¨ n ∈ N. Stern-Operation Die Stern-Operation bildet aus der Σ-Sprache L die Σ-Sprache L ∗ := L 0 ∪ L 1 ∪ L 2 ∪ . . . = S n>0 L n . Beachte, dass L ∗ = {ε} ∪ w1 · . . . · wn : n > 1, wi ∈ L fur ¨ i = 1, . . . , n . Wir lassen oft die Konkatenations-Punkte “·” weg, sowohl zwischen W¨ortern wie auch zwischen Sprachen: also w1w2 statt w1 · w2 und auch L1L2 statt L1 · L2.