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Aufgabe:

Definieren Sie eine formale Sprache F, die die Menge der syntaktisch korrekten Formeln der „Mengenalgebra“ beschreibt. Die „Mengenalgebra“ soll aus den in der Vorlesung beschriebenen Konnektiven ∪, \, ∩ bestehen, die abhängig von mehreren Mengen eine neue Menge definieren.

Sie dürfen davon ausgehen, dass die Mengen mit Variablen aus dem Alphabet AV = {A, B, C, D} bezeichnet werden. Ihre formale Sprache soll sich auf die Mengenoperationen Durchschnitt, Vereinigung und die Mengendifferenz beschränken.

Sie können von einer vollständigen Klammerung der Formeln der „Mengenalgebra“ aussgehen.

Tipp: (A \ ((B ∩ C) ∪ D)) soll in F enthalten sein. (A ∩ ∩ \ B soll nicht in F enthalten sein.

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Antwort mit KI erzeugt

Definition der formalen Sprache F

Um die angegebene Aufgabe zu lösen, definieren wir zunächst die formale Sprache \(F\) mit den entsprechenden Regeln, um die syntaktisch korrekten Formeln der Mengenalgebra zu beschreiben. Da die Mengen mit den Variablen aus dem Alphabet \(AV = \{A, B, C, D\}\) bezeichnet werden und die Mengenalgebra aus den Konnektiven \(∪\) (Vereinigung), \(\\\) (Mengendifferenz), \(∩\) (Durchschnitt) besteht, könnten wir die formalen Sprachregeln wie folgt aufstellen:

Elemente von F:
- Jede Variable aus \(AV\) ist ein Element von \(F\).
- Wenn \(a\) und \(b\) Elemente von \(F\) sind, dann sind auch \((a ∪ b)\), \((a \\ b)\) und \((a ∩ b)\) Elemente von \(F\).

Startsymbol:
- Wir definieren ein Startsymbol, das die Basis unserer generierten Strings sein wird. Dies könnte jede Variable aus \(AV\) sein, also \(A\), \(B\), \(C\), oder \(D\).

Produktionsregeln:
1. \(F → AV\), wobei \(AV = \{A, B, C, D\}\).
2. \(F → (F ∪ F)\)
3. \(F → (F \\ F)\)
4. \(F → (F ∩ F)\)

Jeder gültige Ausdruck in \(F\) muss aus Ausdrücken zusammengesetzt sein, die durch diese Produktionsregeln erzeugt werden können.

Beispiele für gültige Ausdrücke:
- Einzelne Variablen wie \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) sind gültig, da sie direkt aus \(AV\) kommen.
- \((A ∪ B)\) ist gültig, da \(A\) und \(B\) gültige Ausdrücke aus \(F\) sind und sie durch die Regel \(F → (F ∪ F)\) kombiniert werden können.
- \((A \\ ((B ∩ C) ∪ D))\) ist gültig und folgt der vollständigen Klammerung und den definierten Regeln.

Beispiel für einen ungültigen Ausdruck:
- \((A ∩ ∩ \\ B)\) ist nicht gültig, da er nicht den Produktionsregeln folgt. Die Struktur entspricht keiner der definierten Regeln für korrekte Formeln in \(F\).

Durch diese Definitionen und Regeln haben wir eine formale Sprache \(F\) definiert, die die syntaktisch korrekten Formeln der Mengenalgebra, beschränkt auf die genannten Mengenoperationen, beschreibt.
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