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Aufgabe:


Seien L und M Σ-Sprachen.

a) Zeigen Sie, dass \( L⊆{ L }^{ * } \) und \( (L⊆{ M }^{ * } \Longrightarrow { L }^{ * }⊆{ M }^{ * }) \).

b) Schließen Sie aus (a), dass \( { { (L }^{ * } })^{ * }={ L }^{ * } \) und \( (L⊆M\Longrightarrow { L }^{ * }⊆{ M }^{ * }) \)

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Seien L und M Σ-Sprachen.

a) Zeigen Sie, dass \( L \subseteq L^* \) und \( (L \subseteq M^* \Longrightarrow L^* \subseteq M^*) \).

Beginnen wir mit dem ersten Teil:

- Teil 1: \( L \subseteq L^* \)

\( L^* \) ist die Kleene-Stern-Operation auf L, die definiert ist als die Menge, die alle möglichen Konkatenationen von null oder mehr Vorkommen von Worten aus L enthält. Formal ausgedrückt ist:

\( L^* = \{ w_1w_2...w_n | n \geq 0 \text{ und } \forall i (1 \leq i \leq n) : w_i \in L \} \)

Dazu gehören auch das leere Wort \( \epsilon \) (im Fall \( n = 0 \)) und jedes einzelne Wort in L (wobei \( n = 1 \) und \( w_1 \in L \)). Da jedes Wort aus L auch in \( L^* \) enthalten ist (als eine einzelne Sequenz), folgt daraus, dass \( L \subseteq L^* \).

- Teil 2: \( (L \subseteq M^* \Longrightarrow L^* \subseteq M^*) \)

Angenommen, jedes Wort aus L ist auch in \( M^* \), also \( L \subseteq M^* \). \( M^* \) enthält alle möglichen Konkatenationen von Null oder mehr Wörtern aus M. Da jedes Wort von L in \( M^* \) ist und \( M^* \) geschlossen unter Konkatenation ist, kann jede Konkatenation von Wörtern aus L (also jedes Element von \( L^* \)) auch als Element von \( M^* \) gebildet werden. Daher gilt \( L^* \subseteq M^* \) unter der Annahme \( L \subseteq M^* \).

b) Schließen Sie aus (a), dass \( (L^*)^* = L^* \) und \( (L \subseteq M \Longrightarrow L^* \subseteq M^*) \)

- Teil 1: \( (L^*)^* = L^* \)

Die Operation \( (L^*)^* \) bedeutet, die Kleene-Stern-Operation zweimal auf L anzuwenden. \( L^* \) enthielt bereits alle Konkatenationen von null oder mehr Wörtern aus L. Die Anwendung der Kleene-Stern-Operation darauf noch einmal erweitert diese Menge nicht, da \( L^* \) schon alle möglichen Konkatenationen einschließlich des leeren Worts (\( \epsilon \)) umfasst. Daher \( (L^*)^* = L^* \).

- Teil 2: \( (L \subseteq M \Longrightarrow L^* \subseteq M^*) \)

Von \( L \subseteq M \) ausgehend, ist klar, dass jedes Wort in L auch in M vorhanden ist. Wenn wir die Kleene-Stern-Operation auf beide Seiten anwenden (\( L^* \) und \( M^* \)), schließt \( M^* \) alle möglichen Konkatenationen von Wörtern aus M ein, einschließlich aller Wörter und ihrer Konkatenationen aus L, weil \( L \subseteq M \). Daher, wenn \( L \subseteq M \), folgt \( L^* \subseteq M^* \).
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