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Aussagenlogik Tautologie beweisen

Aufgabe 1:

(aΛb) V (aΛc) V (bΛc)


Mein Rechenweg bis jetzt

(aVa)Λ(aVc)Λ(bVa)Λ(bVc) V( bΛc)

(aVa) ergibt eins und streich ich weg. Bleibt (aVc)Λ(bVa)Λ(bVc) V( bΛc) nur was jetzt?


Aufgabe 2:

(x ⇒y) ⇒ ((zVx) ⇒(zVy))


Mein Rechenweg bis jetzt:

(x ⇒y) ⇒ ((zVx) ⇒(zVy))

¬(x⇒y) V ((zVx)⇒(zVy))

¬(x⇒y) V (¬(zVx) V (zVy))

¬(¬xVy) V ((¬zΛ¬x) V (zVy))

(xΛ¬y) V ((¬zΛ¬x) V (zVy))

(xΛ¬y) V (¬z Λ¬x) V (zVy)

(xV¬z) Λ (xV¬x) Λ(¬y V ¬z) Λ(¬y V ¬x) V (zVy)

In der Zeile oben ↑ (x V ¬x) ergibt 1 und wird weggestrichen

(xV¬z)Λ(¬yV¬z)Λ(¬yV ¬x) V ( zVy)

In der Zeile hab ich dann (zVy) als M umbenannt

(xV¬zVM) Λ(¬yV ¬zVM)Λ(¬yV¬xVM)

M aufgelöst wäre es dann:

(xV¬zVzVy) Λ(¬yV¬zVzVy)Λ(¬yV¬xVzVy)

Daraus soll man dann sehen können, dass es 1 ergibt.

Mein Problem ist wenn ich jede Aussage mit der selben nur negierten Aussage streiche, habe ich am Ende ein y und ein z übrig.

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Sicher, dass

"Erste :(aΛb) V (aΛc) V (bΛc)" eine Tautologie sein muss?

Weisst du etwas über a, b oder c?

Nichts, nur dass sie Aussagen sind.

Gemäss Wahrheitstafel hier http://www.wolframalpha.com/input/?i=(a+AND+b)+OR+(a+AND+c)+OR+(b+AND+c)

ist (a AND b) OR (a AND c) OR (b AND c) keine Tautologie.

Bei einer Tautologie müsste in jeder Zeile T (true) stehen.

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Antwort mit KI erzeugt

Aussagenlogik Tautologie beweisen

Um Ihre Frage zu beantworten, werde ich beide Teilfragen Schritt für Schritt durchgehen, und am Ende für die zweite Aufgabe auch Beispiel-Code generieren, um die Tautologie zu überprüfen.

Aufgabe 1: \((a \land b) \lor (a \land c) \lor (b \land c)\)

Ihr Rechenweg war: \((a \lor a) \land (a \lor c) \land (b \lor a) \land (b \lor c) \lor (b \land c)\). Dies scheint jedoch ein Missverständnis der Ausgangsaufgabe zu sein, da diese Vereinfachung nicht direkt auf die gegebene Aussage anwendbar ist. Ihr Ansatz sieht nach dem Distributivgesetz aus, das aber hier nicht direkt zutrifft.

Um zu zeigen, ob die gegebene Aussage eine Tautologie ist oder nicht, versuchen wir sie anders zu betrachten. Eine Tautologie bedeutet, dass die Aussage unter allen möglichen Wahrheitswerten ihrer Variablen wahr ist.

Die gegebene Aussage ist jedoch keine Tautologie. Sie ist nur wahr, wenn mindestens zwei der Variablen \(a, b, c\) wahr sind. Wenn alle drei falsch oder nur eine wahr ist, ist die gesamte Aussage falsch. Daher beweist diese einfache Überprüfung, dass die Aussage keine Tautologie ist.

Aufgabe 2: \((x \Rightarrow y) \Rightarrow ((z \lor x) \Rightarrow (z \lor y))\)

Sie haben die Implikation durch ihre Äquivalenz \(p \Rightarrow q \equiv \neg p \lor q\) ersetzt und sind dann wie folgt vorgegangen:

1. \(¬(x \Rightarrow y) \lor ((z \lor x) \Rightarrow (z \lor y))\)
2. \(¬(¬x \lor y) \lor (\neg(z \lor x) \lor (z \lor y))\)
3. \((x \land ¬y) \lor ((¬z \land ¬x) \lor (z \lor y))\)
4. \((x \land ¬y) \lor (¬z \land ¬x) \lor (z \lor y)\)
5. \((x \lor ¬z) \land (x \lor ¬x) \land (¬y \lor ¬z) \land (¬y \lor ¬x) \lor (z \lor y)\)

In Schritt 5 haben Sie einen Fehler:
- \(x \lor ¬x\) ist tatsächlich eine Tautologie (immer wahr), daher kann seine Präsenz ignoriert werden.
- Der Rest ihrer Umformung scheint verwirrend, und ihr Versuch, M zu ersetzen, macht es schwer zu folgen.

Richtig wäre es, den Beweis mit der ursprünglichen Formel fortzusetzen, bevor diese Abkürzungen eingeführt wurden.

Wenn man jedoch das zugrunde liegende Konzept beachtet, dass die Implikation \(p \Rightarrow q\) wahr ist, solange \(p\) falsch oder \(q\) wahr ist, können wir die Originalaussage vereinfachen:

- \(x \Rightarrow y\) wahr macht die linke Seite der Hauptimplikation wahr, was bedeutet, dass für die gesamte Aussage zu gelten, auch die rechte Seite wahr sein muss.
- Wenn \(x\) falsch ist, dann ist \(z \lor x\) gleichwertig zu \(z\), und \(z \lor y\) bleibt wahr, solange \(y\) wahr ist oder \(z\) wahr ist, was der Definition einer Implikation entspricht.

Letztendlich, \(x \Rightarrow y \Rightarrow (z \lor x) \Rightarrow (z \lor y)\) ist tatsächlich eine Tautologie, weil unabhängig von den konkreten Wahrheitswerten von \(x\), \(y\), und \(z\), die Implikationskette erhalten bleibt.

Um dies zu verifizieren, können wir Python-Code verwenden, um alle möglichen Wahrheitswerte durchzugehen:

python
# Überprüfung der Tautologie für die Aufgabe 2
for x in [True, False]:
    for y in [True, False]:
        for z in [True, False]:
            # Auswertung des Ausdrucks
            result = (not (x and not y)) or (not (z or x) or (z or y))
            print(f"x={x}, y={y}, z={z} gibt {result}")


Dieser Code durchläuft alle Wahrheitswertkombinationen der Variablen \(x\), \(y\), und \(z\), und evaluiert den logischen Ausdruck. Erwartet wird, dass result immer True ist, was die Eigenschaft einer Tautologie bestätigen würde.
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