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Aufgabe:

Beweisen Sie, dass es keine Tautologie in den Variablen A und B gibt, wenn nur die Verknüpfungen "oder" und "und" (und beliebig viele Klammern) erlaubt sind. Zeigen Sie dazu mittels vollständiger Indukion, dass jeder solche Ausdruck den Wahrheitswert 0 hat, wenn A und B beide den Wahrheitswert 0 haben.

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Antwort mit KI erzeugt:

Beweis durch vollständige Induktion

Wir möchten zeigen, dass es unter der Voraussetzung, dass die Variablen \(A\) und \(B\) beide den Wahrheitswert 0 haben, keinen Ausdruck geben kann, der ausschließlich die Verknüpfungen "oder" (symbolisiert durch \(\lor\)) und "und" (symbolisiert durch \(\land\)) verwendet und trotzdem immer den Wahrheitswert 1 (wahr) ergibt–eine Tautologie.

Induktionsbasis:

Als Induktionsbasis betrachten wir die einfachsten Ausdrücke bestehend aus den Variablen \(A\) und \(B\), die nur die Verknüpfungen "und" und "oder" verwenden:
- \(A \lor A\), \(B \lor B\), \(A \land A\), \(B \land B\), \(A \lor B\), und \(B \lor A\), \(A \land B\), \(B \land A\)

Wenn \(A = 0\) und \(B = 0\), dann haben wir folgende Wahrheitswerte für die Basisausdrücke:
- \(0 \lor 0 = 0\)
- \(0 \land 0 = 0\)

Egal wie wir \(A\) und \(B\) verknüpfen, unter der Bedingung, dass beide 0 sind, ist jeder dieser einfachen Ausdrücke gleich 0. Damit ist unsere Induktionsbasis bewiesen.

Induktionsschritt:

Nehmen wir nun an, dass unsere Annahme für alle Ausdrücke bis zur Länge \(n\) gilt. Das bedeutet, dass jeder Ausdruck, der bis zu \(n\) Operationen (also "und" und "oder") verwendet, den Wahrheitswert 0 hat, wenn \(A = 0\) und \(B = 0\).

Wir müssen nun zeigen, dass die Annahme auch für einen beliebigen Ausdruck der Länge \(n+1\) gilt.

Betrachten wir einen solchen Ausdruck. Er kann nur durch das Hinzufügen einer Operation "und" oder "oder" zu einem bereits bestehenden Ausdruck der Länge \(n\) oder durch das Verknüpfen zweier kürzerer Ausdrücke, deren gesamte Länge \(n\) ist, entstehen.

Da unser Induktionsannahme besagt, dass jeder Ausdruck bis zur Länge \(n\) den Wahrheitswert 0 hat, wenn \(A = 0\) und \(B = 0\), folgt, dass auch jeder Teil des neuen Ausdrucks der Länge \(n+1\) den Wahrheitswert 0 hat unter diesen Bedingungen.

Wenn wir also zu einem Ausdruck, dessen Wert 0 ist, eine weitere Operation "und" oder "oder" hinzufügen, egal an welcher Stelle, bleibt der Wahrheitswert des gesamten Ausdrucks 0, wenn \(A = 0\) und \(B = 0\), da:
- \(0 \lor 0 = 0\)
- \(0 \land 0 = 0\)

Fazit:

Durch vollständige Induktion haben wir gezeigt, dass unter der Voraussetzung, dass \(A = 0\) und \(B = 0\), jeder Ausdruck, der ausschließlich "und" und "oder" Verknüpfungen verwendet, den Wahrheitswert 0 hat.

Daher kann es keine Tautologie geben, die lediglich auf den Verknüpfungen "und" und "oder" basiert, denn eine Tautologie ist ein Ausdruck, der unter allen Belegungen seiner Variablen den Wahrheitswert 1 (wahr) hat.
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